Question

【題目】如圖，拋物線(xiàn)y＝ax2+bx+c經(jīng)過(guò)O、A（4，0）、B（5，5）三點(diǎn)，直線(xiàn)l交拋物線(xiàn)于點(diǎn)B，交y軸于點(diǎn)C（0，﹣4）．點(diǎn)P是拋物線(xiàn)上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．

（1）求拋物線(xiàn)的解析式；

（2）點(diǎn)P關(guān)于直線(xiàn)OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)恰好落在直線(xiàn)l上，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）M是線(xiàn)段OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作直線(xiàn)MN⊥x軸，交拋物線(xiàn)于點(diǎn)N．當(dāng)以M、N、B為頂點(diǎn)的三角形與△OBC相似時(shí)，直接寫(xiě)出點(diǎn)N的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）拋物線(xiàn)解析式為：y＝x2﹣4x；（2）P（﹣，）；（3）點(diǎn)N坐標(biāo)為：（，﹣）或（，﹣）．

【解析】

（1）依題意設(shè)拋物線(xiàn)解析式為y＝ax（x﹣4），把B（5，5）代入求得解析式；

（2）先求出直線(xiàn)BC解析式和OB解析式，可求直線(xiàn)l關(guān)于直線(xiàn)OB對(duì)稱(chēng)的直線(xiàn)解析式，聯(lián)立方程組可求解；

（3）分兩種情況討論，由相似三角形的性質(zhì)列出等式，即可求解．

解：（1）設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為：y＝ax（x﹣4），且過(guò)點(diǎn)B（5，5）

∴5＝5a

∴a＝1，

∴拋物線(xiàn)解析式為：y＝x（x﹣4）＝x2﹣4x；

（2）∵點(diǎn)B（5，5），點(diǎn)C（0，﹣4），O（0，0）

∴直線(xiàn)BC解析式為：y＝x﹣4，直線(xiàn)OB解析式為：y＝x，

∵C點(diǎn)（0，-4），可得C點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為（-4，0）

設(shè)直線(xiàn)l關(guān)于直線(xiàn)OB對(duì)稱(chēng)的直線(xiàn)解析式為y=kx+b,

把（-4，0），（5，5）代入得

解得

∴直線(xiàn)l關(guān)于直線(xiàn)OB對(duì)稱(chēng)的直線(xiàn)解析式為y＝，

∴聯(lián)立方程組可得：

∴ 或

∴點(diǎn)P（﹣，）；

（3）如圖，

∵點(diǎn)B（5，5），點(diǎn)C（0，﹣4），O（0，0）

∴OC＝4，BO＝=5，∠BOA＝45°．

設(shè)點(diǎn)M（m，m），則點(diǎn)N（m，m2﹣4m），

∴MN＝5m﹣m2，BM＝=（5﹣m），

∵MN∥y軸，

∴∠BMN＝∠BOC＝∠BOA +∠COA =135°．

∵以M、N、B為頂點(diǎn)的三角形與△OBC相似，

①當(dāng)△BMN∽△BOC

∴，

則＝，

∴m1＝5（舍去），m2＝，

∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（，﹣），

②當(dāng)△BMN∽△COB

若，則＝，

∴m1＝5（舍去），m2＝，

∴點(diǎn)N坐標(biāo)為（，﹣），

綜上所述：點(diǎn)N坐標(biāo)為：（，﹣）或（，﹣）．