Question

20．已知m是一個(gè)正整數(shù)，記F（x）=|x-m|-（x-m）的值，例如，F(xiàn)（10）=|10-m|-（10-m）．若F（1）+F（2）+…+F（20）=30，則m=6．

Answer 1

分析 根據(jù)F（x）的意義，用含m和絕對(duì)值的式子表示出方程F（1）+F（2）+…+F（20）=30，根據(jù)m是正整數(shù)，可以依次試驗(yàn)，確定m的值．

解答 解：由題意可知：F（1）+F（2）+…+F（30）=30，
∴|1-m|-（1-m）+|2-m|-（2-m）+…+|20-m|-（20-m）=30，
∴|1-m|+|2-m|+|3-m|+…+|20-m|=（1-m）+（2-m）+（3-m）+…+（20-m）+30，
即|1-m|+|2-m|+|3-m|+…+|20-m|=（1+2+3+…+20）-20m+30，
由于m是一個(gè)正整數(shù)，當(dāng)m=1時(shí)
2-m+3-m+…+20-m=（1+2+3+…+20）-20m+30
（2+3+4+…+20）-19m=1+（2+3+…+20）-19m-m+30
此時(shí)m=31，這與m=1矛盾．
當(dāng)m=2時(shí)
m-1+2-m+3-m+…+20-m=（1+2+3+…+20）-20m+30
（-1+2+3+4+…+20）-18m=1+（2+3+…+20）-18m-2m+30
此時(shí)m=小數(shù)，這與m=正整數(shù)矛盾．
當(dāng)m=3時(shí)
m-1+m-2+3-m+…+20-m=（1+2+3+…+20）-20m+30
（-1-2+3+4+…+20）-16m=1+2+（3+4+…+20）-16m-4m+30
此時(shí)m=9，這與m=3矛盾．
…
當(dāng)m=6時(shí)
m-1+m-2+m-3+m-4+m-5+6-m+7-m+…+20-m=（1+2+3+…+20）-20m+30
-15+（6+7+…+20）-10m=15+（6+7+…+20）-10m-10m+30
此時(shí)m=6，這與m=6相一致．
當(dāng)m=7時(shí)
m-1+m-2+m-3+m-4+m-5+m-6+7-m+…+20-m=（1+2+3+…+20）-20m+30
-21+（7+…+20）-9m=21+（7+…+20）-9m-11m+30
此時(shí)m=小數(shù)，這與m=7矛盾．
…
當(dāng)m=20時(shí)
m-1+m-2+m-3+m+…+m-20≠（1+2+3+…+20）-20m+30
綜上m=6．
故答案為：6

點(diǎn)評(píng) 本題考查了絕對(duì)值和新定義運(yùn)算．明白新定義并會(huì)運(yùn)用新定義是解決本題的關(guān)鍵．