Question

已知：△ACB與△DCE為兩個(gè)有公共頂點(diǎn)C的等腰直角三角形，且∠ACB=∠DCE=90°，AC=BC，DC=EC．把△DCE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，在整個(gè)旋轉(zhuǎn)過程中，設(shè)BD的中點(diǎn)為N，連接CN．
（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)D在BA的延長線上時(shí)，連接AE，求證：AE=2CN；
（2）如圖②，當(dāng)DE經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，過點(diǎn)C作CH⊥BD，垂足為H，設(shè)AC、BD相交于F，若NH=4，BH=16，求CF的長．

Answer 1

分析：（1）延長CN至點(diǎn)K，使NK=CN，連接DK，利用已知條件證明△DNK≌△BNC，所以可得DK=BC=AC，∠KDC+∠DCB=180°，又因?yàn)椤螪CK=∠ACE，DK=AC，CD=CE，由三角形的全等可得AE=CK，所以AE=2CN；
（2）延長CN交DE于點(diǎn)P，延長CH交DE于點(diǎn)M，由（1）問可知∠DCN=∠AEC=45°，再由已知條件可證明△DPN≌△CPM，所以DN=CM=20，易證△CHN∽△DHM，所以

NH

HM

=

CH

DH

，
設(shè)CH為x，HM為（20-x），所以4×24=x×（20-x），解方程可得CH=8或CH=12，因?yàn)閠an∠CBH=

CH

BH

=

CF

CB

，所以再分別分①當(dāng)CH=8時(shí)和②當(dāng)CH=12時(shí)，求出符合題意的FC的值即可．

解答：（1）證明：延長CN至點(diǎn)K，使NK=CN，連接DK，
∵∠DCA+∠ACE=90°，∠BCE+∠ACE=90°，
∴∠DCB+∠ACE=180°，
∴∠KDN=∠CBN，
∴DK∥BC，
∵DN=NB，CN=NK，∠DNK=∠BNC，
∴△DNK≌△BNC，
∴DK=BC=AC，
∴∠KDC+∠DCB=180°，
∵∠DCK=∠ACE，
又∵DK=AC，CD=CE，
∵△DNC≌△CAE，
∴AE=CK
∴AE=2CN；

（2）解：延長CN交DE于點(diǎn)P，延長CH交DE于點(diǎn)M，
由（1）問可知∠DCN=∠AEC=45°，
∴∠DCP=∠CDP=45°，
∴∠CPD=90°，DP=CP，
∵∠PDN+∠DNP=90°，∠CNH+∠HCN=90°，
又∵∠CNH=∠DNP，
∴∠PDN=∠PCM，
∴△DPN≌△CPM，
∴DN=CM=20，
∵△CHN∽△DHM，
∴

NH

HM

=

CH

DH

，
設(shè)CH為x，HM為（20-x），
∴4×24=x×（20-x），
解得：x₁=8，x₂=12，
∴CH=8或CH=12，
∵tan∠CBH=

CH

BH

=

CF

CB

，
①當(dāng)CH=8時(shí)，F(xiàn)H=NH=4，N、F重合，CH=8舍去；
②當(dāng)CH=12時(shí)，可求CB=20，
∴CF=15．

點(diǎn)評：本題綜合考查了勾股定理，等腰直角三角形，全等三角形的性質(zhì)和判定以及相似三角形的性質(zhì)和判定、一元二次方程的運(yùn)用，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，關(guān)鍵是考查學(xué)生能根據(jù)題意得出規(guī)律，題型較好，有一定的難度．