Question

（2012•普陀區(qū)二模）已知，∠ACB=90°，CD是∠ACB的平分線，點(diǎn)P在CD上，CP=

2

．將三角板的直角頂點(diǎn)放置在點(diǎn)P處，繞著點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，三角板的一條直角邊與射線CB交于點(diǎn)E，另一條直角邊與直線CA、直線CB分別交于點(diǎn)F、點(diǎn)G．
（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)F在射線CA上時，
①求證：PF=PE．
②設(shè)CF=x，EG=y，求y與x的函數(shù)解析式并寫出函數(shù)的定義域．
（2）連接EF，當(dāng)△CEF與△EGP相似時，求EG的長．

Answer 1

分析：（1）①過點(diǎn)P作PM⊥AC，PN⊥BC，垂足分別為M、N，由已知條件證明△PMF≌△PNE即可證明PF=PE；②利用①中的三角形全等和相似三角形的性質(zhì)即可求出y與x的函數(shù)解析式，再寫出其自變量的取值范圍即可；
（2）當(dāng)△CEF與△EGP相似時，點(diǎn)F的位置有兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)F在射線CA上時，②當(dāng)點(diǎn)F在AC延長線上時，分別討論求出滿足題意的EG長即可．

解答：（1）
①證明：過點(diǎn)P作PM⊥AC，PN⊥BC，垂足分別為M、N．
∵CD是∠ACB的平分線，
∴PM=PN．
由∠PMC=∠MCN=∠CNP=90°，得∠MPN=90°．
∴∠1+∠FPN=90°．
∵∠2+∠FPN=90°，
∴∠1=∠2．
∴△PMF≌△PNE．
∴PF=PE．
②解：
∵CP=

2

，
∴CN=CM=1．
∵△PMF≌△PNE，
∴NE=MF=1-x．
∴CE=2-x．
∵CF∥PN，
∴△GCF∽△GNP，
∴

CF

PN

=

CG

GN

．
∴CG=

x

1-x

．
∴y=

x

1-x

+2-x（0≤x＜1）．

（2）當(dāng)△CEF與△EGP相似時，點(diǎn)F的位置有兩種情況：
①當(dāng)點(diǎn)F在射線CA上時，
∵∠GPE=∠FCE=90°，∠1≠∠PEG，
∴∠G=∠1．
∴FG=FE．
∴CG=CE．
在Rt△EGP中，EG=2CP=2

2

．
②當(dāng)點(diǎn)F在AC延長線上時，
∵∠GPE=∠FCE=90°，∠1≠∠2，
∴∠3=∠2．
∵∠1=45°+∠5，∠1=45°+∠2，
∴∠5=∠2．
易證∠3=∠4，可得∠5=∠4．
∴FC=CP=

2

．
∴FM=1+

2

．
易證△PMF≌△PNE，
可得EN=1+

2

．
∵CF∥PN，
∴

CF

PN

=

CG

GN

．
∴GN=

2

-1．
∴EG=2

2

．

點(diǎn)評：本題綜合性的考查了角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定和全等三角形的性質(zhì)、以及分類討論思想在幾何題目中的運(yùn)用，題目的難度很大，對學(xué)生的解題能力要求很高．