Question

【題目】（1）（操作發(fā)現(xiàn)）

如圖1，將△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)50°，得到△ADE，連接BD，則∠ABD＝　 　度．

（2）（解決問題）

①如圖2，在邊長為的等邊三角形ABC內(nèi)有一點P，∠APC＝90°，∠BPC＝120°，求△APC的面積．

②如圖3，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P是△ABC內(nèi)的一點，若PB＝1，PA＝3，∠BPC＝135°，則PC＝　 　．

（3）（拓展應(yīng)用）

如圖4是A，B，C三個村子位置的平面圖，經(jīng)測量AB＝4，BC＝3，∠ABC＝75°，P為△ABC內(nèi)的一個動點，連接PA，PB，PC．求PA+PB+PC的最小值．

Answer 1

【答案】（1）65；（2）①；②2；（3）PA+PB+PC的最小值為．

【解析】

（1）【操作發(fā)現(xiàn)】：如圖1中，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AD＝AB，由等邊對等角和三角形內(nèi)角和定理可求出答案；

（2）【解決問題】

①如圖2中，將△APB繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°，得到△AP′C′，只要證明∠PP′C＝90°，利用勾股定理即可解決問題；

②如圖3中，將△CBP繞著點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，得到△CAP′，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可以得到∠P′CP＝∠ACB＝90°，進而得到等腰直角三角形，求出PP'即可得出答案；

（3）【拓展應(yīng)用】

如圖4中，將△APB繞BC順時針旋轉(zhuǎn)60°，得到△EDB，連接PD、CE．得出∠CBE＝135°，過點E作EF⊥CB交CB的延長線于點F，求出CF和EF的長，可求出CE長，則答案可求出．

（1）【操作發(fā)現(xiàn)】

解：如圖1中，

∵△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)50°，得到△ADE，

∴AD＝AB，∠DAB＝50°，

∴＝65°，

故答案為：65．

（2）【解決問題】

①解：如圖2中，∵將△APB繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°，得到△AP′C′，

∴△APP′是等邊三角形，∠AP′C＝∠APB＝360°﹣90°﹣120°＝150°，

∴PP′＝AP，∠AP′P＝∠APP′＝60°，

∴∠PP′C＝90°，∠P′PC＝30°，

∴PP′＝PC，即AP＝PC，

∵∠APC＝90°，

∴AP2+PC2＝AC2，即（PC）2+PC2＝（）2，

∴PC＝2，

∴AP＝，

∴S△APC＝APPC＝××2＝．

②如圖3，將△CBP繞著點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，得到△CAP′，

∵CP′＝CP，∠P′CP＝∠ACB＝90°，

∴△P′CP為等腰直角三角形，

∴∠CP'P＝45°，

∵∠BPC＝135°＝∠AP'C，

∴∠AP′P＝90°，

∵PA＝3，PB＝1，

∴AP′＝1，

∴PP′＝＝＝2，

∴PC＝＝＝2．

故答案為：2．

（3）【拓展應(yīng)用】

解：如圖4中，將△APB繞B順時針旋轉(zhuǎn)60°，得到△EDB，連接PD、CE．

∵將△APB繞B順時針旋轉(zhuǎn)60°，得到△EDB，

∴∠ABP＝∠EBD，AB＝EB＝4，∠PBD＝60°，△BPD為等邊三角形，AP=DE

∴∠ABP+∠PBC＝∠EBD+∠PBC，PB=PD

∴∠EBD+∠PBC＝∠ABC＝75°，根據(jù)兩點之間線段最短可得PA+PB+PC=DE＋PD＋PC≤CE，即PA+PB+PC的最小值為CE的長

∴∠CBE＝135°，

過點E作EF⊥CB交CB的延長線于點F，

∴∠EBF＝45°，

∴，

在Rt△CFE中，∵∠CFE＝90°，BC＝3，EF＝2，

∴＝

即PA+PB+PC的最小值為．