Question

下表給出了代數式x²+bx+c與x的一些對應值：

x	…	-1		1	2	3	4	…
X2+bx+c	…		3		-1		3	…

（1）根據表格中的數據，確定b、c的值，并填齊表格中空白處的對應值；
（2）代數式x²+bx+c是否有最小值？如果有，求出最小值；如果沒有，請說明理由；
（3）設y=x²+bx+c的圖象與x軸的交點為A、B兩點（A點在B點左側），與y軸交于點C，P點為線段AB上一動點，過P點作PE∥AC交BC于E，連接PC，當△PEC的面積最大時，求P點的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據圖表中已知的三組數據，用待定系數法即可求出b、c的值；進而可由拋物線的解析式填齊空白處的對應值；
（2）根據（1）所得函數的解析式，可用配方法或公式法求出其最小值；
（3）由于△PEC的面積無法直接得出，所以要轉化為其他圖形面積的和差來解；可設出P點的坐標，過E作EM⊥x軸于M，易證得△BPE∽△BAC，那么它們的對應高等于相似比，由此可求出EM的表達式；那么△PEC的面積可由△ABC、△BPE、△APC的面積差求得，也就得到了關于△PEC的面積與P點橫坐標的函數關系式，根據函數的性質即可求出S的最大值及對應的P點坐標．
解答：解：（1）由題意知：
解得b=-4（1分）

x	…	-1		1	2	3	4	…
X2+bx+c	…	8	3	0	-1	0	3	…

（2）∵x²-4x+3=（x-2）²-1≥-1
∴x²-4x+3有最小值，最小值為-1；（3分）

（3）由（1）可知，點A、B的坐標分別為（1，0），（3，0）、設點P的坐標為（x，0），過點E作EM⊥x軸于點M，
∵PE∥AC，∴△EPB∽△CAB
∵EM、CO分別為△EPB與△CAB邊上的高，
∴（4分）
∵CO=3，AB=2，PB=3-x，∴（5分）
∴S_△PEC=S_△PBC-S_△PBE=PB•CO-PB•EM（6分）
==（7分）
∴當x=2時，S有最大值；
∴當點P的坐標為（2，0）時，△PEC的面積最大．（8分）
點評：此題主要考查了用待定系數法求二次函數解析式、相似三角形的判定和性質、圖形面積的求法及二次函數的應用等，綜合性較強，難度偏大．