Question

如圖，點(diǎn)O是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠AOB=110°，∠BOC=a．將△BOC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得△ADC，連接OD．
（1）求證：△COD是等邊三角形；
（2）當(dāng)a=150°時(shí)，試判斷△AOD的形狀，并說明理由；
（3）探究：當(dāng)a為多少度時(shí)，△AOD是等腰三角形？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得出OC=OD，結(jié)合題意即可證得結(jié)論；
（2）結(jié)合（1）的結(jié)論可作出判斷；
（3）找到變化中的不變量，然后利用旋轉(zhuǎn)及全等的性質(zhì)即可做出解答．

解答：（1）證明：∵將△BOC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得△ADC，
∴CO=CD，∠OCD=60°，
∴△COD是等邊三角形．

（2）解：當(dāng)α=150°時(shí)，△AOD是直角三角形．
理由是：∵將△BOC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得△ADC，
∴△BOC≌△ADC，
∴∠ADC=∠BOC=150°，
又∵△COD是等邊三角形，
∴∠ODC=60°，
∴∠ADO=∠ADC-∠ODC=90°，
∵∠α=150°∠AOB=110°，∠COD=60°，
∴∠AOD=360°-∠α-∠AOB-∠COD=360°-150°-110°-60°=40°，
∴△AOD不是等腰直角三角形，即△AOD是直角三角形．

（3）解：①要使AO=AD，需∠AOD=∠ADO，
∵∠AOD=360°-110°-60°-α=190°-α，∠ADO=α-60°，
∴190°-α=α-60°，
∴α=125°；
②要使OA=OD，需∠OAD=∠ADO．
∵∠OAD=180°-（∠AOD+∠ADO）=180°-（190°-α+α-60°）=50°，
∴α-60°=50°，
∴α=110°；
③要使OD=AD，需∠OAD=∠AOD．
∵∠OAD=360°-110°-60°-α=190°-α，
∠AOD=

180°-(α-60°)

2

=120°-

α

2

，
∴190°-α=120°-

α

2

，
解得α=140°．
綜上所述：當(dāng)α的度數(shù)為125°或110°或140°時(shí)，△AOD是等腰三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題以“空間與圖形”中的核心知識(shí)（如等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)與證明、直角三角形的判定、多邊形內(nèi)角和等）為載體，內(nèi)容由淺入深，層層遞進(jìn)．試題中幾何演繹推理的難度適宜，蘊(yùn)含著豐富的思想方法（如運(yùn)動(dòng)變化、數(shù)形結(jié)合、分類討論、方程思想等），能較好地考查學(xué)生的推理、探究及解決問題的能力．