Question

14．如圖，已知平面直角坐標(biāo)系中，直線y=$\frac{1}{2}$x+2與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，與直線y=x交于點(diǎn)C．
（1）求A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求△AOC的面積；
（3）已知點(diǎn)P是x軸正半軸上的一點(diǎn)，若△COP是等腰三角形，直接寫點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）先令y=0，求出x的值可得出A點(diǎn)坐標(biāo)；再令x=0，求出y的值即可得出B點(diǎn)坐標(biāo)；聯(lián)立兩直線的解析式求出x、y的對(duì)應(yīng)值即可得出C點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）根據(jù)A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用三角形的面積公式即可得出結(jié)論；
（3）分OC=PC，OC=OP，PC=OP三種情況進(jìn)行討論．

解答 解：（1）∵令y=0，則x=-4，
∴A（-4，0）；
∵令x=0，則y=2，
∴B（0，2）；
∵$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{1}{2}x+2\\ y=x\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}x=4\\ y=4\end{array}\right.$，
∴C（4，4）；

（2）∵A（-4，0），C（4，4）
∴S_△AOC=$\frac{1}{2}$OA•y_C=$\frac{1}{2}$×4×4=8；

（3）如圖，當(dāng)OC=PC時(shí)，
∵C（4，4），
∴P₁（8，0）；
當(dāng)OC=OP時(shí)，
∵C（4，4），
∴OC=$\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
∴P₂（4$\sqrt{2}$，0）；
當(dāng)PC=OP時(shí)，設(shè)P（x，0），
則x=$\sqrt{（4-x）^{2}+{4}^{2}}$，解得x=4，
∴P₃（4，0）．
綜上所述，P點(diǎn)坐標(biāo)為P₁（8，0），P₂（4$\sqrt{2}$，0），P₃（4，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是一次函數(shù)綜合題，涉及到一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)問題及等腰三角形的判定等知識(shí)，在解答（3）時(shí)要注意進(jìn)行分類討論，不要漏解．