Question

在直角△ABC中，AD是斜邊上的高，角平分線CE交AD于O，過O引OF∥CB交AB于F．求證：AE=BF．

Answer 1

分析：過E點(diǎn)作EH⊥BC于H點(diǎn)，由于直角△ABC中，AD是斜邊上的高，CE平分∠ACB，根據(jù)等角的余角相等得到∠B=∠DAC，根據(jù)角平分線的定義得到∠ACE=∠BCE，利用三角形外角性質(zhì)得
∠AEO=∠B+∠BCE，∠AOE=∠OAD+∠ACO，則∠AEO=∠AOE，所以O(shè)A=AE，又因?yàn)镺F∥BC，∠AFO=∠B，∠AOF=90°，然后根據(jù)角平分線定理得到EA=EH，則OA=EH，再根據(jù)全等三角形的判定方法得到Rt△AFO≌Rt△RBH，則AF=BE，即可得到結(jié)論．

解答：證明：過E點(diǎn)作EH⊥BC于H點(diǎn)，如圖，
∵∠AEO=∠B+∠BCE，∠AOE=∠OAC+∠ACO，
而直角△ABC中，AD是斜邊上的高，CE平分∠ACB，
∴∠ACE=∠BCE，∠B=∠DAC，
∴∠AEO=∠AOE，
∴OA=AE，
∵OF∥BC，
∴∠AFO=∠B，∠AOF=90°，
又∵CE平分∠ACB，EA⊥AC，EH⊥BC，
∴EA=EH，
∴OA=EH，
在Rt△AFO和Rt△EBH中

∠AFO=∠EBH ∠AOF=∠EHB AO=EH

，
∴Rt△AFO≌Rt△EBH（AAS），
∴AF=BE，
∴AE=BF．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：有兩個(gè)角和其中一個(gè)角所對(duì)的邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等；全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等．也考查了角平分線的性質(zhì)和等腰三角形的判定與性質(zhì)．