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        1. 定義:我們把三角形被一邊中線分成的兩個三角形叫做“友好三角形”.
          性質(zhì):如果兩個三角形是“友好三角形”,那么這兩個三角形的面積相等.
          理解:如圖①,在△ABC中,CD是AB邊上的中線,那么△ACD和△BCD是“友好三角形”,并且S△ACD=S△BCD
          應(yīng)用:如圖②,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,點E在AD上,點F在BC上,AE=BF,AF與BE交于點O.
          (1)求證:△AOB和△AOE是“友好三角形”;
          (2)連接OD,若△AOE和△DOE是“友好三角形”,求四邊形CDOF的面積.
          探究:在△ABC中,∠A=30°,AB=4,點D在線段AB上,連接CD,△ACD和△BCD是“友好三角形”,將△ACD沿CD所在直線翻折,得
          到△A′CD,若△A′CD與△ABC重合部分的面積等于△ABC面積的,請直接寫出△ABC的面積.

          【答案】分析:(1)利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形,得到四邊形ABFE是平行四邊形,然后根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)證得OE=OB,即可證得△AOE和△AOB是友好三角形;
          (2)△AOE和△DOE是“友好三角形”,即可得到E是AD的中點,則可以求得△ABE、△ABF的面積,根據(jù)S四邊形CDOF=S矩形ABCD-2S△ABF即可求解.
          探究:畫出符合條件的兩種情況:①求出四邊形A′DCB是平行四邊形,求出BC和A′D推出∠ACB=90°,根據(jù)三角形面積公式求出即可;②求出高CQ,求出△A′DC的面積.即可求出△ABC的面積.
          解答:(1)證明:∵四邊形ABCD是矩形,
          ∴AD∥BC,
          ∵AE=BF,
          ∴四邊形ABFE是平行四邊形,
          ∴OE=OB,
          ∴△AOE和△AOB是友好三角形.

          (2)解:∵△AOE和△DOE是友好三角形,
          ∴S△AOE=S△DOE,AE=ED=AD=3,
          ∵△AOB與△AOE是友好三角形,
          ∴S△AOB=S△AOE
          ∵△AOE≌△FOB,
          ∴S△AOE=S△FOB,
          ∴S△AOD=S△ABF,
          ∴S四邊形CDOF=S矩形ABCD-2S△ABF=4×6-2××4×3=12.

          探究:
          解:分為兩種情況:①如圖1,

          ∵S△ACD=S△BCD
          ∴AD=BD=AB,
          ∵沿CD折疊A和A′重合,
          ∴AD=A′D=AB=4=2,
          ∵△A′CD與△ABC重合部分的面積等于△ABC面積的,
          ∴S△DOC=S△ABC=S△BDC=S△ADC=S△A′DC
          ∴DO=OB,A′O=CO,
          ∴四邊形A′DCB是平行四邊形,
          ∴BC=A′D=2,
          過B作BM⊥AC于M,
          ∵AB=4,∠BAC=30°,
          ∴BM=AB=2=BC,
          即C和M重合,
          ∴∠ACB=90°,
          由勾股定理得:AC==2,
          ∴△ABC的面積是×BC×AC=×2×2=2
          ②如圖2,

          ∵S△ACD=S△BCD
          ∴AD=BD=AB,
          ∵沿CD折疊A和A′重合,
          ∴AD=A′D=AB=4=2,
          ∵△A′CD與△ABC重合部分的面積等于△ABC面積的,
          ∴S△DOC=S△ABC=S△BDC=S△ADC=S△A′DC
          ∴DO=OA′,BO=CO,
          ∴四邊形A′BDC是平行四邊形,
          ∴BD=A′C=2,
          過C作CQ⊥A′D于Q,
          ∵A′C=2,∠DA′C=∠BAC=30°,
          ∴CQ=A′C=1,
          ∴S△ABC=2S△ADC=2S△A′DC=2××A′D×CQ=2××2×1=2;
          即△ABC的面積是2或2
          點評:本題考查了平行四邊形性質(zhì)和判定,三角形的面積,勾股定理的應(yīng)用,解這個題的關(guān)鍵是能根據(jù)已知題意和所學(xué)的定理進(jìn)行推理.題目比較好,但是有一定的難度.
          練習(xí)冊系列答案
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          (2013•沈陽)定義:我們把三角形被一邊中線分成的兩個三角形叫做“友好三角形”.
          性質(zhì):如果兩個三角形是“友好三角形”,那么這兩個三角形的面積相等.
          理解:如圖①,在△ABC中,CD是AB邊上的中線,那么△ACD和△BCD是“友好三角形”,并且S△ACD=S△BCD
          應(yīng)用:如圖②,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,點E在AD上,點F在BC上,AE=BF,AF與BE交于點O.
          (1)求證:△AOB和△AOE是“友好三角形”;
          (2)連接OD,若△AOE和△DOE是“友好三角形”,求四邊形CDOF的面積.
          探究:在△ABC中,∠A=30°,AB=4,點D在線段AB上,連接CD,△ACD和△BCD是“友好三角形”,將△ACD沿CD所在直線翻折,得
          到△A′CD,若△A′CD與△ABC重合部分的面積等于△ABC面積的
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          ,請直接寫出△ABC的面積.

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          定義:我們把三角形被一邊中線分成的兩個三角形叫做“友好三角形”

          性質(zhì):如果兩個三角形是“友好三角形”,那么這兩個三角形的面積相等,

          理解:如圖①,在△ABC中,CD是AB邊上的中線,那么△ACD和△BCD是“友好三角形”,并且S△ACD=S△BCD

          應(yīng)用:如圖②,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,點E在AD上,點F在BC上,AE=BF,AF與BE交于點O,

          (1)求證:△AOB和△AOE是“友好三角形”;

          (2)連接OD,若△AOE和△DOE是“友好三角形”,求四邊形CDOF的面積,

          探究:在△ABC中,∠A=30°,AB=4,點D在線段AB上,連接CD,△ACD和△BCD是“友好三角形”,將△ACD沿CD所在直線翻折,得到△CD與△ABC重合部分的面積等于△ABC面積的,請直接寫出△ABC的面積.

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          定義:我們把三角形被一邊中線分成的兩個三角形叫做“友好三角形”.

          性質(zhì):如果兩個三角形是“友好三角形”,那么這兩個三角形的面積相等.

          理解:如圖①,在△ABC中,CD是AB邊上的中線,那么△ACD和△BCD是“友好三角形”,并且SACD=SBCD

          應(yīng)用:如圖②,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,點E在AD上,點F在BC上,AE=BF,AF與BE交于點O.

          (1)求證:△AOB和△AOE是“友好三角形”;

          (2)連接OD,若△AOE和△DOE是“友好三角形”,求四邊形CDOF的面積.

          探究:在△ABC中,∠A=30°,AB=4,點D在線段AB上,連接CD,△ACD和△BCD是“友好三角形”,將△ACD沿CD所在直線翻折,得到△A′CD,若△A′CD與△ABC重合部分的面積等于△ABC面積的,請直接寫出△ABC的面積.

           

           

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          定義:我們把三角形被一邊中線分成的兩個三角形叫做“友好三角形”

            性質(zhì):如果兩個三角形是“友好三角形”,那么這兩個三角形的面積相等,

            理解:如圖①,在中,CD是AB邊上的中線,那么是“友好三角形”,并且

            應(yīng)用:如圖②,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,點E在AD上,點F在BC上,AE=BF,AF與BE交于點O,

          (1)       求證: 是“友好三角形”;

          (2)       連接OD,若是“友好三角形”,求四邊形CDOF的面積,

            探究:在中,,AB=4,點D在線段AB上,連接CD,是“友好三角形”,將沿CD所在直線翻折,得到重合部分的面積等于面積的,請直接寫出的面積。

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