Question

（2013•沈陽）定義：我們把三角形被一邊中線分成的兩個三角形叫做“友好三角形”．
性質(zhì)：如果兩個三角形是“友好三角形”，那么這兩個三角形的面積相等．
理解：如圖①，在△ABC中，CD是AB邊上的中線，那么△ACD和△BCD是“友好三角形”，并且S_△ACD=S_△BCD．
應(yīng)用：如圖②，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，點E在AD上，點F在BC上，AE=BF，AF與BE交于點O．
（1）求證：△AOB和△AOE是“友好三角形”；
（2）連接OD，若△AOE和△DOE是“友好三角形”，求四邊形CDOF的面積．
探究：在△ABC中，∠A=30°，AB=4，點D在線段AB上，連接CD，△ACD和△BCD是“友好三角形”，將△ACD沿CD所在直線翻折，得
到△A′CD，若△A′CD與△ABC重合部分的面積等于△ABC面積的

1

4

，請直接寫出△ABC的面積．

Answer 1

分析：（1）利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，得到四邊形ABFE是平行四邊形，然后根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)證得OE=OB，即可證得△AOE和△AOB是友好三角形；
（2）△AOE和△DOE是“友好三角形”，即可得到E是AD的中點，則可以求得△ABE、△ABF的面積，根據(jù)S_{四邊形CDOF}=S_矩形ABCD-2S_△ABF即可求解．
探究：畫出符合條件的兩種情況：①求出四邊形A′DCB是平行四邊形，求出BC和A′D推出∠ACB=90°，根據(jù)三角形面積公式求出即可；②求出高CQ，求出△A′DC的面積．即可求出△ABC的面積．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∵AE=BF，
∴四邊形ABFE是平行四邊形，
∴OE=OB，
∴△AOE和△AOB是友好三角形．

（2）解：∵△AOE和△DOE是友好三角形，
∴S_△AOE=S_△DOE，AE=ED=

1

2

AD=3，
∵△AOB與△AOE是友好三角形，
∴S_△AOB=S_△AOE．
∵△AOE≌△FOB，
∴S_△AOE=S_△FOB，
∴S_△AOD=S_△ABF，
∴S_{四邊形CDOF}=S_矩形ABCD-2S_△ABF=4×6-2×

1

2

×4×3=12．

探究：
解：分為兩種情況：①如圖1，

∵S_△ACD=S_△BCD．
∴AD=BD=

1

2

AB，
∵沿CD折疊A和A′重合，
∴AD=A′D=

1

2

AB=

1

2

×4=2，
∵△A′CD與△ABC重合部分的面積等于△ABC面積的

1

4

，
∴S_△DOC=

1

4

S_△ABC=

1

2

S_△BDC=

1

2

S_△ADC=

1

2

S_△A′DC，
∴DO=OB，A′O=CO，
∴四邊形A′DCB是平行四邊形，
∴BC=A′D=2，
過B作BM⊥AC于M，
∵AB=4，∠BAC=30°，
∴BM=

1

2

AB=2=BC，
即C和M重合，
∴∠ACB=90°，
由勾股定理得：AC=

42-22

=2

3

，
∴△ABC的面積是

1

2

×BC×AC=

1

2

×2×2

3

=2

3

；
②如圖2，

∵S_△ACD=S_△BCD．
∴AD=BD=

1

2

AB，
∵沿CD折疊A和A′重合，
∴AD=A′D=

1

2

AB=

1

2

×4=2，
∵△A′CD與△ABC重合部分的面積等于△ABC面積的

1

4

，
∴S_△DOC=

1

4

S_△ABC=

1

2

S_△BDC=

1

2

S_△ADC=

1

2

S_△A′DC，
∴DO=OA′，BO=CO，
∴四邊形A′BDC是平行四邊形，
∴BD=A′C=2，
過C作CQ⊥A′D于Q，
∵A′C=2，∠DA′C=∠BAC=30°，
∴CQ=

1

2

A′C=1，
∴S_△ABC=2S_△ADC=2S_△A′DC=2×

1

2

×A′D×CQ=2×

1

2

×2×1=2；
即△ABC的面積是2或2

3

．

點評：本題考查了平行四邊形性質(zhì)和判定，三角形的面積，勾股定理的應(yīng)用，解這個題的關(guān)鍵是能根據(jù)已知題意和所學的定理進行推理．題目比較好，但是有一定的難度．