Question

【題目】如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為10的等邊三角形，P是AC邊上一動(dòng)點(diǎn)，由A向C運(yùn)動(dòng)（與A、C不重合）．

（Ⅰ）如圖1，若點(diǎn)Q是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，與點(diǎn)P同時(shí)以相同的速度由C向B運(yùn)動(dòng)（與C、B不重合）．求證：BP＝AQ；

（Ⅱ）如圖2，若Q是CB延長(zhǎng)線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，與點(diǎn)P同時(shí)以相同的速度由B向CB延長(zhǎng)線(xiàn)方向運(yùn)動(dòng)（Q不與B重合），過(guò)P作PE⊥AB于E，連接PQ交AB于D，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中線(xiàn)段ED的長(zhǎng)是否發(fā)生變化？如果不變，求出線(xiàn)段ED的長(zhǎng)；如果發(fā)生改變，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見(jiàn)詳解；（Ⅱ）不會(huì)改變．

【解析】

（Ⅰ）證明△BAP≌△ACQ（SAS）即可解決問(wèn)題．

（Ⅱ）作QF⊥AB，交直線(xiàn)AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，連接QE，PF，由點(diǎn)P、Q做勻速運(yùn)動(dòng)且速度相同，可知AP＝BQ，

再根據(jù)全等三角形的判定定理得出△APE≌△BQF，再由AE＝BF，PE＝QF且PE∥QF，可知四邊形PEQF是平行四邊形，進(jìn)而可得出EB+AE＝BE+BF＝AB，DE＝AB，由等邊△ABC的邊長(zhǎng)為10可得出DE＝5，故當(dāng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，線(xiàn)段DE的長(zhǎng)度不會(huì)改變．

（Ⅰ）證明：如圖1中，

∵△ABC是等邊三角形，

∴AB＝AC，∠BAP＝∠ACQ＝60°，

∵AP＝CQ，

∴△BAP≌△ACQ（SAS），

∴BP＝AQ．

（Ⅱ）解：當(dāng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，線(xiàn)段DE的長(zhǎng)度不會(huì)改變．理由如下：

作QF⊥AB，交直線(xiàn)AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，連接QE，PF，

又∵PE⊥AB于E，

∴∠DFQ＝∠AEP＝90°，

∵點(diǎn)P、Q速度相同，

∴AP＝BQ，

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠A＝∠ABC＝∠FBQ＝60°，

在△APE和△BQF中，

∵∠AEP＝∠BFQ＝90°，

∴∠APE＝∠BQF，

∴在△APE和△BQF中，

，

∴△APE≌△BQF（AAS），

∴AE＝BF，PE＝QF且PE∥QF，

∴四邊形PEQF是平行四邊形，

∴DE＝EF，

∵EB+AE＝BE+BF＝AB，

∴DE＝AB，

又∵等邊△ABC的邊長(zhǎng)為10，

∴DE＝5，

∴當(dāng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，線(xiàn)段DE的長(zhǎng)度不會(huì)改變．