Question

給出四個(gè)命題：①整系數(shù)方程ax²+bx+c=0（a≠0）中，若△為一個(gè)完全平方數(shù)，則方程必有有理根；②整系數(shù)方程ax²+bx+c=0（a≠0）中，若方程有有理數(shù)根，則△為完全平方數(shù)；③無理數(shù)系數(shù)方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根只能是無理數(shù)；④若a、b、c均為奇數(shù)，則方程ax²+bx+c=0沒有有理數(shù)根，其中真命題是

 

．

Answer 1

分析：運(yùn)用一元二次方程求根公式，以及根的判別式與完全平方數(shù)可知，①②③正確，利用數(shù)據(jù)的奇偶性得出方程根的情況．

解答：解：①整系數(shù)方程ax²+bx+c=0（a≠0）中，若△為一個(gè)完全平方數(shù)，則方程必有有理根；
∵方程的根為x=

-b± b2-4ac

2a

，只有△為一個(gè)完全平方數(shù)，x才是有理數(shù)，所以方程必有有理根．故：①正確；
②整系數(shù)方程ax²+bx+c=0（a≠0）中，若方程有有理數(shù)根，則△為完全平方數(shù)；
∵方程的根為x=

-b± b2-4ac

2a

，方程若有有理根，只有△能夠開完全平方，方程有有理數(shù)根．
故：②正確；
③無理數(shù)系數(shù)方程：

2

x-2

2

x+

2

=0的解是x=1，是有理數(shù)故：③錯(cuò)誤．
④證明：
設(shè)方程有一個(gè)有理數(shù)根

n

m

（m，n是互質(zhì)的整數(shù)）．
那么a（

n

m

）²+b（

n

m

）+c=0，即an²+bmn+cm²=0．
把m，n按奇數(shù)、偶數(shù)分類討論，
∵m，n互質(zhì)，∴不可能同為偶數(shù)．
①當(dāng)m，n同為奇數(shù)時(shí)，則an²+bmn+cm62是奇數(shù)+奇數(shù)+奇數(shù)=奇數(shù)≠0；
②當(dāng)m為奇數(shù)，n為偶數(shù)時(shí)，an²+bmn+cm²是偶數(shù)+偶數(shù)+奇數(shù)=奇數(shù)≠0；
③當(dāng)m為偶數(shù)，n為奇數(shù)時(shí)，an²+bmn+cm²是奇數(shù)+偶數(shù)+偶數(shù)=奇數(shù)≠0．
綜上所述 不論m，n取什么整數(shù)，等式a（

n

m

）²+b（

n

m

）+c=0都不成立．
即假設(shè)方程有一個(gè)有理數(shù)根是不成立的．
∴當(dāng)a，b，c都是奇數(shù)時(shí)，方程ax²+bx+c=0（a≠0）沒有有理數(shù)根
故：④正確
故填：①②④．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了一元二次方程整數(shù)根的求法以及完全平方數(shù)和數(shù)據(jù)的奇偶性，題目難度不大．