Question

給出四個命題：①整系數(shù)方程ax²+bx+c=0（a≠0）中，若△為一個完全平方數(shù)，則方程必有有理根；②整系數(shù)方程ax²+bx+c=0（a≠0）中，若方程有有理數(shù)根，則△為完全平方數(shù)；③無理數(shù)系數(shù)方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根只能是無理數(shù)；④若a、b、c均為奇數(shù)，則方程ax²+bx+c=0沒有有理數(shù)根，其中真命題是________．

Answer 1

①②④
分析：運用一元二次方程求根公式，以及根的判別式與完全平方數(shù)可知，①②③正確，利用數(shù)據(jù)的奇偶性得出方程根的情況．
解答：①整系數(shù)方程ax²+bx+c=0（a≠0）中，若△為一個完全平方數(shù)，則方程必有有理根；
∵方程的根為x=，只有△為一個完全平方數(shù)，x才是有理數(shù)，所以方程必有有理根．故：①正確；
②整系數(shù)方程ax²+bx+c=0（a≠0）中，若方程有有理數(shù)根，則△為完全平方數(shù)；
∵方程的根為x=，方程若有有理根，只有△能夠開完全平方，方程有有理數(shù)根．
故：②正確；
③無理數(shù)系數(shù)方程： x-2x+=0的解是x=1，是有理數(shù)故：③錯誤．
④證明：
設方程有一個有理數(shù)根（m，n是互質(zhì)的整數(shù)）．
那么a（）²+b（）+c=0，即an²+bmn+cm²=0．
把m，n按奇數(shù)、偶數(shù)分類討論，
∵m，n互質(zhì)，∴不可能同為偶數(shù)．
①當m，n同為奇數(shù)時，則an²+bmn+cm62是奇數(shù)+奇數(shù)+奇數(shù)=奇數(shù)≠0；
②當m為奇數(shù)，n為偶數(shù)時，an²+bmn+cm²是偶數(shù)+偶數(shù)+奇數(shù)=奇數(shù)≠0；
③當m為偶數(shù)，n為奇數(shù)時，an²+bmn+cm²是奇數(shù)+偶數(shù)+偶數(shù)=奇數(shù)≠0．
綜上所述 不論m，n取什么整數(shù)，等式a（）²+b（）+c=0都不成立．
即假設方程有一個有理數(shù)根是不成立的．
∴當a，b，c都是奇數(shù)時，方程ax²+bx+c=0（a≠0）沒有有理數(shù)根
故：④正確
故填：①②④．
點評：此題主要考查了一元二次方程整數(shù)根的求法以及完全平方數(shù)和數(shù)據(jù)的奇偶性，題目難度不大．