Question

【題目】已知，如圖，ABCD中，BC=8cm，CD=4cm，∠B=60°，點M從點D出發(fā)，沿DA方向勻速運動，速度為2cm/s，點N從點B出發(fā)，沿BC方向勻速運動，速度為1cm/s，過M作MF⊥CD，垂足為F，延長FM交BA的延長線于點E，連接EN，交AD于點O，設(shè)運動時間為t（s）（0＜t＜4），解答下列問題：

（1）當t為何值時，△AEM≌△DFM？
（2）連接AN，MN，設(shè)四邊形ANME的面積為y（cm2），求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）是否存在某一時刻t，使四邊形ANME的面積是ABCD面積的 ？若存在，求出相應的t值，若不存在，說明理由；
（4）連接AC，交EN于點P，當EN⊥AD時，求線段OP的長度．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，

∴AD=BC=8．

∵△AEM≌△DFM，

∴AM=MD=4．

∴2t=4．

∴t=2

（2）

解：如圖1所示：過點A作AG⊥BC，垂足為G．

∵∠AGB=90°，∠A=60°，

∴AG= AB=2

∵MD=2t，

∴AM=8﹣2t．

∵AB∥CD，MF⊥CD，

∴MF⊥AB．

∴∠MEA=90°．

∵AD∥BC，

∴∠EAM=∠B=60°．

∴AE= AM=4﹣t，ME= （4﹣t）．

∴y=S△ANM+S△AEM= ×（8﹣2t）×2 + ×（4﹣t）× ×（4﹣t）= t2﹣6 t+16 ．

∴y= t2﹣6 t+16

（3）

解：設(shè)運動時間t秒時，四邊形ANME的面積是ABCD面積的 ．

根據(jù)題意得： t2﹣6 t+16 = ×8×2 ．

整理得：t2﹣12t+11=0．

解得t=1或t=11（舍去）．

所以當t=1時，四邊形ANME的面積是ABCD面積的

（4）

解：如圖2所示：過A作AG⊥BC，垂足為G．

∵由（2）可知AE=4﹣t．

∴BE=AB+AE=8﹣t．

∵∠B=60°，EN⊥BC，AG⊥BC，

p>∴BN= BE=4﹣ t，BG= AB=2．

又∵BN=t，

∴4﹣ t=t．

解得：t= ．

∴GN=BN﹣BG= ．

∴AO= ，NC= ．

設(shè)PO=x，則PN=2 ﹣x．

∵AO∥NC，

∴△AOP∽△CNP．

∴ ，即 ．

解得：x= ．

∴OP的長為

【解析】（1）由全等三角形的性質(zhì)可知AM=MD=4，故此得到2t=4，于是可求得t的值；（2）過點A作AG⊥BC，垂足為G．在Rt△ABG中依據(jù)特殊銳角三角函數(shù)值可求得AG的長，由題意可得到AM=8﹣2t，然后再△AEM中依據(jù)特殊銳角三角函數(shù)值可求得AE、ME的長，最后依據(jù)y=S△ANM+S△AEM可得到y(tǒng)與x的函數(shù)關(guān)系式；（3）設(shè)運動時間t秒時，四邊形ANME的面積是ABCD面積的 ，根據(jù)題意列方程求解即可；（4）過A作AG⊥BC，垂足為G．由（2）可知AE=4﹣t，從而得到BE的長，然后在△AGB和△BNE中，依據(jù)特殊銳角三角函數(shù)值可求得NB的長（含t的式子），接下來依據(jù)BN=t列出關(guān)于t的方程，從而可求得t的值，于是可求得AO、NC的長，最后證明△AOP∽△CNP，最后依據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求得OP的長．