Question

（1）如圖1，在正方形ABCD中，O為正方形的中心，∠MON繞著O點自由的轉動，角的兩邊與正方形的邊BC、CD交于E、F．若∠MON=90°，正方形的面積等于S．求四邊形OECF的面積．（用S表示）
下面給出一種求解的思路，你可以按這一思路求解，也可以選擇另外的方法去求．
解：連接OB、OC．∵O為正方形的中心，∴∠BOC=

360

4

=90°，
∵∠MON=90°∴∠FOC+∠EOC=∠EOB+∠EOC=90°．∴∠FOC=∠EOB
（下面請你完成余下的解題過程）
（2）若將（1）中的“正方形ABCD”改為“正三角形ABC”（如圖2），O是△ABC的中心，∠MON=120°，正三角形ABC的面積等于S．求四邊形OECF的面積．（用S表示）
（3）若將（1）中的“正方形ABCD”改為“正n邊形ABCD…X”，正n邊形的面積等于S．請你作出猜想：當∠MON=

 

°時，四邊形OECF的面積=

 

（用S表示，并直接寫出答案，不需要證明）．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)∠BOC=∠MON=90°，推出∠BOE=∠COF，又有∠OBE=∠OCF=45°，OB=OC，可證△OBE≌△OCF，根據(jù)全等三角形的面積相等，將S_{四邊形OECF}轉化為S_△BOC，得出與正方形面積S的關系；
（2）仿照（1）的推理方法，證明△OBE≌△OCF，將S_{四邊形OECF}轉化為S_△BOC，得出S_{四邊形OECF}=

1

3

S；
（3）由（1）（2）可知解題一般思路，當正多邊形有n個邊時，∠MON=∠BOC=

360

n

，S_{四邊形OECF}=S_△BOC=

S

n

．

解答：解：（1）∵O為正方形ABCD的中心，
∴∠OCF=∠OBE=45°，OB=OC，
∵∠FOC=∠EOB，∴△OBE≌△OCF，
∴S_△FOC+S_△OEC=S_△EOB+S_△OEC，
即 S_{四邊形OECF}=S_△BOC，
∵S_△BOC=

1

4

S，∴S_{四邊形OECF}=

1

4

S；

（2）∵O為正三角形ABC的中心，
∴∠OCF=∠OBE=30°，OB=OC，∠BOC=120°，
∴∠FOC+∠EOC=∠EOB+∠EOC，∴∠FOC=∠EOB，
∴△OBE≌△OCF，
∴S_△FOC+S_△OEC=S_△EOB+S_△OEC，
即 S_{四邊形OECF}=S_△BOC，
S_△BOC=

1

3

S，∴S_{四邊形OECF}=

1

3

S；

（3）

360

n

，

S

n

．

點評：本題考查了旋轉的性質，正多邊形的性質，全等三角形的判定與性質．關鍵是用旋轉的觀點，將四邊形的面積轉化為三角形的面積，得出三角形在正多邊形中，所占面積的比．