Question

（2013•西陵區(qū)模擬）在平行四邊形ABCD中，AB=5，AD=3，sinA=

2

3

，點P是AB上一動點，（點P不與點A、點B重合），過點P作PQ∥AD交BD于Q，連結(jié)CQ，設(shè)AP的長為x，四邊形QPBC的面積為y．
（1）計算平行四邊形ABCD的面積；
（2）寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并指出自變量x的取值范圍；
（3）是否存在實數(shù)x，使得S_△BPQ=S_△BCQ？如果存在，求出x的值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）作DH⊥AB垂足為H，過Q作KR⊥AB交DC于K，交AB于R，求出DH，根據(jù)面積公式求出即可；
（2）求出QR，QK的值，分別求出△BPQ、△BDC、△DQC的面積，即可求出答案；
（3）根據(jù)（2）得出方程當

1

2

•（5-x）•

2(5-x)

5

=

1

2

×10-

1

2

×5×

2x

5

，求出即可．

解答：
解：（1）作DH⊥AB垂足為H，過Q作KR⊥AB交DC于K，交AB于R，
∵sinA=

DH

AD

=

2

3

，
∴在Rt△ADH中，DH=AD•sinA=2，
∴S _□ABCD=AB•DH=5•2=10；

（2）∵PQ∥AD，
∴△BQP∽△BDA，
∴

PQ

AD

=

BP

AB

，

BP

AB

=

QR

DH

∴

PQ

3

=

5-x

5

，

5-x

5

=

QR

2

∴PQ=

3(5-x)

5

，QR=

2(5-x)

5

，
∴QK=2-

2(5-x)

5

=

2x

5

，
∴y=S_△BPQ+S_△BDC-S_△DQC=

1

2

•（5-x）•

2(5-x)

5

+

1

2

×10-

1

2

×5×

2x

5

，
y=

1

5

x²-3x+10（0＜x＜5）；

（3）不存在實數(shù)x，使得S_△BPQ=S_△BCQ，
理由是：假設(shè)存在x，使S_△BPQ=S_△BQC，
則

1

2

•（5-x）•

2(5-x)

5

=

1

2

×10-

1

2

×5×

2x

5

                                
解得  x₁=0或x₂=5                         
∵0＜x＜5，
∴不存在實數(shù)x，使S_△BPQ=S_△BCQ．

點評：本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，平行四邊形的性質(zhì)，三角形的面積的應用，主要考查學生的計算能力，注意：相似三角形的對應高之比等于對應邊之比．