Question

如圖所示，四邊形ABCD是正方形，點E是邊BC的中點且∠AEF=90°，EF交正方形外角平分線CF于點F，取邊AB的中點G，連接EG．
（1）證明：∠BAE=∠FEC；
（2）證明：△AGE≌△ECF．

Answer 1

（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠B=90°，
∴∠BAE+∠AEB=90°，
∵∠AEF=90°，
∴∠AEF=90°，
∴∠AEB+∠FEC=180°-90°=90°，
∴∠BAE=∠FEC；
（2）證明：
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠B=90°，AB=BC，
∵G為AB中點，E為BC中點，
∴AG=EC，BG=BE，
∴∠BGE=∠BEG=45°，
∴∠AGE=135°，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠DCB=∠DCM=90°，
∵CF平分∠DCM，
∴∠DCF=45°，
∴∠FCE=135°=∠AGE，
∵∠BAE=∠FEC，
∴∠GAE=∠CEF，
在△AGE和△ECF中

∴△AGE≌△ECF（ASA）．
分析：（1）求出∠B=90°，推出∠BAE+∠AEB=90°，∠AEB+∠FEC=90°，即可得出答案；
（2）求出AG=EC，∠GAE=∠CEF，∠AGE=∠ECF，根據(jù)ASA即可推出兩三角形全等．
點評：本題考查了正方形性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，角平分線定義等知識點的應(yīng)用，關(guān)鍵是推出證兩三角形全等的三個條件．