Question

24、如下幾個(gè)圖形是五角星和它的變形．

（1）圖（1）中是一個(gè)五角星形狀，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=

180°

；
（2）圖（1）中的點(diǎn)A向下移到BE上時(shí)（如圖（2））五個(gè)角的和（即∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E）有無(wú)變化？說(shuō)明你的結(jié)論的正確性；
（3）把圖（2）中的點(diǎn)C向上移動(dòng)到BD上時(shí)（如圖（3）），五個(gè)角的和（即∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E）有無(wú)變化？說(shuō)明你的結(jié)論的正確性．
（4）如圖，在△ABC中，CD、BE分別是AB、AC邊上的中線，延長(zhǎng)CD到F，使FD=CD，延長(zhǎng)BE到G，使EG=BE，那么AF與AG是否相等？F、A、G三點(diǎn)是否在一條直線上？說(shuō)說(shuō)你的理由．

Answer 1

分析：通過(guò)作輔助線，并利用三角形內(nèi)角和定理及三角形的外角性質(zhì)（三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和）求解．

解答：解：（1）連接C，D，得線段CD，并設(shè)BD和CE交于點(diǎn)O，如下圖：
∵∠COD=∠BOE（對(duì)頂角相等），
∴∠B+∠E=∠ECD+∠BDC（等量代換），
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=∠A+∠C+∠D+∠ECD+∠EDC=∠A+∠ACD+∠ADC=180°
（2）連接C，D，得線段CD，并設(shè)BD和CE交于點(diǎn)O，如下圖：
∵∠COD=∠BOE（對(duì)頂角相等），
∴∠B+∠E=∠ECD+∠BDC（等量代換），
∴∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E=∠CAD+∠C+∠D+∠ECD+∠BDC=∠CAD+∠ACD+∠ADC=180°．
故∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E等于180°沒(méi)有變化．
（3）∵∠ECD是△BCE的一個(gè)外角，
∴∠ECD=∠B+∠E（三角形的一個(gè)外角等于它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和），
∴∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E=∠CAD+∠ACE+∠D+∠ECD=∠CAD+∠ACD+∠D=180°，
故∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E等于180°，沒(méi)有變化．

（4）∵CD是AB邊上的中線，F(xiàn)D=CD，
∴AD=BD，CD=FD，
又∠ADF=∠BDC，
∴△ADF≌△BDC，
∴AF=BC，且AF∥BC．
同理可得，AG=BC，且AG∥BC，
∴AF=AG，
又AF，AG同時(shí)平行于BC，又都過(guò)A點(diǎn)，
∴F、A、G三點(diǎn)在一條直線上．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角形內(nèi)角和定理及三角形的外角性質(zhì)，屬于一個(gè)綜合題，要想正確解答這類問(wèn)題，就要熟練掌握相關(guān)的定理和性質(zhì)．