Question

如下幾個圖形是五角星和它的變形．

（1）圖（1）中是一個五角星形狀，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=_________；
（2）圖（1）中的點A向下移到BE上時（如圖（2））五個角的和（即∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E）有無變化？說明你的結論的正確性；
（3）把圖（2）中的點C向上移動到BD上時（如圖（3）），五個角的和（即∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E）有無變化？說明你的結論的正確性．
（4）如圖，在△ABC中，CD、BE分別是AB、AC邊上的中線，延長CD到F，使FD=CD，延長BE到G，使EG=BE，那么AF與AG是否相等？F、A、G三點是否在一條直線上？說說你的理由．

Answer 1

解：（1）連接C，D，得線段CD，并設BD和CE交于點O，如下圖：
∵∠COD=∠BOE（對頂角相等），
∴∠B+∠E=∠ECD+∠BDC（等量代換），
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=∠A+∠C+∠D+∠ECD+∠BDC=∠A+∠ACD+∠ADC=180°
（2）連接C，D，得線段CD，并設BD和CE交于點O，如下圖：
∵∠COD=∠BOE（對頂角相等），
∴∠B+∠E=∠ECD+∠BDC（等量代換），
∴∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E=∠CAD+∠C+∠D+∠ECD+∠BDC=∠CAD+∠ACD+∠ADC=180°．
故∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E等于180°沒有變化．
（3）∵∠ECD是△BCE的一個外角，
∴∠ECD=∠B+∠E（三角形的一個外角等于它不相鄰的兩個內角的和），
∴∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E=∠CAD+∠ACE+∠D+∠ECD=∠CAD+∠ACD+∠D=180°，故∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E等于180°，沒有變化．
（4）∵CD是AB邊上的中線，FD=CD，
∴AD=BD，CD=FD，又∠ADF=∠BDC，
∴△ADF≌△BDC，
∴AF=BC，且AF∥BC．同理可得，AG=BC，且AG∥BC，
∴AF=AG，又AF，AG同時平行于BC，又都過A點，
∴F、A、G三點在一條直線上．