Question

如圖所示，將一邊長為3的正方形放置到平面直角坐標(biāo)系中，其頂點(diǎn)A、B均落在坐標(biāo)軸上，一拋物線過點(diǎn)A、B，且頂點(diǎn)為P（1，4）

（1）求拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)M為拋物線上一點(diǎn)，恰使△MOA≌△MOB，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（3）y軸上是否存在一點(diǎn)N，恰好使得△PNB為直角三角形？若存在，直接寫出滿足條件的所有點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

　

Answer 1

【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．

【分析】（1）由正方形的性質(zhì)可知OA=OB=3，從而得到點(diǎn)A的坐標(biāo)，設(shè)拋物線的解析式為y=a（x﹣1）²+4，把A（0，3）代入可求得a的值，從而得到拋物線的解析式；

（2）由全等三角形對應(yīng)邊相等可知MA=BM，從而可知點(diǎn)M在AB的垂直平分線上，故此點(diǎn)M為直線OC與拋物線的交點(diǎn)，然后求得直線OC與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)即可；

（3）設(shè)N（0，t）．分為∠PNB=90、∠NPB=90°、∠PBN=90°三種情況畫出圖形，然后依據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列出關(guān)于t的方程求解即可．

【解答】解：（1）∵正方形的邊長為3，

∴A（0，3），B（3，0）．

設(shè)拋物線的解析式為y=a（x﹣1）²+4．

∵把A（0，3）代入得：a+4=3，解得a=﹣1，

∴拋物線的解析式為y=﹣（x﹣1）²+4=﹣x²+2x+3．

（2）如圖1所示：

∵△MOA≌△MOB，

∴AM=BM．

∴點(diǎn)M在AB的垂直平分線上．

∵OACB為正方形，

∴OC為AB的垂直平分線．

設(shè)OC的解析式為y=kx，

∵將C（3，3）代入得：3k=3，解得：k=1，

∴直線OC的解析式為y=x．

由y=x與y=﹣x²+2x+3得：x=﹣x²+2x+3，解得：x₁=，x₂=．

∴M（，），M′（，）．

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，）或（，）．

（3）設(shè)N（0，t）．

①當(dāng)∠PNB=90時，如圖2所示．連接PN、BN，過點(diǎn)P作PM⊥y軸，垂足為M．

由△PMN∽△NOB，得：，解得：t₁=1，t₂=3．

②當(dāng)∠NPB=90°時．

如圖3所示；連接PN、BN，過點(diǎn)P作x軸的平行線，交BC延長線與點(diǎn)M．

由△PMN∽△NOB，得：，解得：t=．

③當(dāng)∠PBN=90°時，如圖4所示，過點(diǎn)P作x軸的平行線，交BC延長線與點(diǎn)M．

由△PMB∽△NOB得：，解得：t=﹣．

綜上所述，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，1）、（0，3）、（0，）、（0，﹣）．

【點(diǎn)評】本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題需要熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的步驟和方法、二次函數(shù)表達(dá)式的三種基本形式、相似三角形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)，分類討論是解題的關(guān)鍵．