Question

已知等腰三角形一腰的中線長(zhǎng)為7.5，頂角平分線長(zhǎng)為9，那么這個(gè)三角形的面積是（　　）

• A、31.5
• B、36
• C、54
• D、67.5

Answer 1

分析：設(shè)CF，AD分別是等腰三角形腰AB上的中線和頂角的角平分線，延長(zhǎng)CF到G，使FG=CF，連接AG，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得到AD是BC邊上的中線，從而可得到點(diǎn)H為△ABC的重心，即可求得HF，AH的長(zhǎng)，再根據(jù)SAS判定△AFG≌△BFC，由全等三角形的性質(zhì)及平行線的性行可得到AG=BC，∠GAD=90°從而利用勾股定理即可求得AG的長(zhǎng)，則此時(shí)不難求三角形的面積．

解答：解：如圖，設(shè)CF，AD分別是等腰三角形腰AB上的中線和頂角的角平分線，延長(zhǎng)CF到G，使FG=CF，連接AG．
∵AD是BC邊上的高，AB=AC，
∴AD是BC邊上的中線，
∵CF是腰AB上的中線，
∴點(diǎn)H為△ABC的重心，
∵CF=7.5，AD=9，
∴HF=

1

3

CF=2.5，AH=

2

3

AD=6，
∵AF=BF，CF=GF，∠AFG=∠BFC，
∴△AFG≌△BFC，
∴AG=BC，∠G=∠FCB，
∴AG∥BC，
∵AD⊥BC，
∴∠GAD=90°，
∴AG=

GH2-AH2

=

102-62

=8，
∴BC=8，
∴S_△ABC=

1

2

BC×AD=

1

2

×8×9=36．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查等腰三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定及性質(zhì)的綜合運(yùn)用，關(guān)鍵是輔助線的添加方法．