Question

已知△ABC是邊長為4的等邊三角形，BC在x軸上，點D為BC的中點，點A在第一象限內(nèi)，AB與y軸的正半軸相交于點E，點B（-1，0），P是AC上的一個動點（P與點A、C不重合）
（1）求點A、E的坐標；
（2）若y=-

6 3

7

x²+bx+c過點A、E，求拋物線的解析式；
（3）連接PB、PD，設L為△PBD的周長，當L取最小值時，求點P的坐標及L的最小值，并判斷此時點P是否在（2）中所求的拋物線上，請充分說明你的判斷理由．

Answer 1

（1）連接AD，
∵△ABC是邊長為4的等邊三角形，又B的坐標為（-1，0），BC在x軸上，A在第一象限，
∴點C在x軸的正半軸上，
∴C的坐標為（3，0），由中點坐標公式，得：D的坐標為（1，0）．
顯然AD⊥BC且AD=

3

BD=2

3

，
∴A的坐標是（1，2

3

）．
OE=

1

2

AD，得E（0，

3

）；

（2）因為拋物線y=-

6 3

7

x²+bx+c過點A、E，
由待定系數(shù)法得：c=

3

，b=

13 3

7

，
拋物線的解析式為y=-

6 3

7

x2+

13 3

7

x+

3

；

（3）大家記得這樣一個常識嗎？
“牽牛從點A出發(fā)，到河邊l喝水，再到點B處吃草，走哪條路徑最短”即確定l上的點P，
方法是作點A關于l的對稱點A'，連接A'B與l的交點P即為所求．
本題中的AC就是“河”，B、D分別為“出發(fā)點”和“草地”．
由引例并證明后，得先作點D關于AC的對稱點D'，
連接BD'交AC于點P，則PB與PD的和取最小值，
即△PBD的周長L取最小值．
∵D、D′關于直線AC對稱，
∴DD′⊥AC，即∠D′DC=30°，
DF=

3

，DD'=2

3

，
求得點D'的坐標為（4，

3

），
直線BD'的解析式為：y=

3

5

x+

3

5

，
直線AC的解析式為：y=-

3

x+3

3

，
求直線BD'與AC的交點可得點P的坐標（

7

3

，

2 3

3

）．
此時BD'=

BG2+D′G2

=

52+( 3 )2

=2

7

，
所以△PBD的最小周長L為2

7

+2，
把點P的坐標代入y=-

6 3

7

x2+

13 3

7

x+

3

成立，所以此時點P在拋物線上．