Question

在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)B作∠CBE=∠A，BE與射線CA相交于點(diǎn)E，與射線CD相交于點(diǎn)F．
（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)E在線段CA上時(shí)，求證：BE⊥CD；
（2）如果BE=CD，那么線段AC與BC之間具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你所得到的結(jié)論；
（3）如果△BDF是等腰三角形，求∠A的度數(shù)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)角之間的等量關(guān)系及中點(diǎn)的特點(diǎn)即可得出答案；
（2）根據(jù)題意易證△BCE∽△ACB，根據(jù)相似三角形比例關(guān)系即可得出結(jié)論；
（3）分①點(diǎn)E在線段CA上時(shí)；②點(diǎn)E在線段CA延長線上討論求解．

解答：解：（1）∵∠CBE=∠A，
∴∠CBE+∠EBA=∠A+∠EBA，即：∠CBA=∠BEC，
∵∠ACB=90°，D是AB的中點(diǎn)，
∴CD=BD，
∴∠CBA=∠DCB，
∴∠DCB=∠BEC，
∵∠DCB+∠ACD=90°，
∴∠BEC+∠ACD=90°，
∴BE⊥CD；

（2）線段AC與BC之間的數(shù)量關(guān)系是

BC

AC

=

1

2

（AC=2BC），
∵∠CBE=∠A，∠BCE=∠ACB，
∴△BCE∽△ACB，
∴

BC

AC

=

BE

AB

，
∵BE=CD，

CD

AB

=

1

2

，
∴

BC

AC

=

1

2

．

（3）∵△BDF是等腰三角形，∠BFD=90°，
∴∠BDF=45°．
①當(dāng)點(diǎn)E在線段CA上時(shí)，∠A=

1

2

∠BDF=22.5°；（2分）
②當(dāng)點(diǎn)E在線段CA延長線上時(shí)，∠BAC=

180°-∠CDA

2

=

135°

2

=67.5°．（2分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直角三角形斜邊中線的性質(zhì)及相似三角形的證明及性質(zhì)，難度適中．