Question

如圖，已知AC=AE，FC=FE，∠ABC=∠ADE=90°，BC與DE相交于點F，連接 CD，EB．
（1）求證：△ABC≌△ADE；
（2）求證：AF⊥BD．

Answer 1

分析：（1）在△ACF和△AEF中根據已知及公共邊AF證得兩三角形全等，可得∠ACB=∠AEF，再根據已知條件及全等的判定方法AAS即可證得△ABC≌△ADE；
（2）根據HL易證得Rt△ABF≌Rt△ADF，即可得∠AFB=∠AFD，根據等腰三角形的性質即可得AF⊥BD．

解答：證明：（1）在△ACF和△AEF中

AC=AE FC=FE AF=AF

∴△ACF≌△AEF（SSS）．
∴∠ACB=∠AEF；
在△ABC和△ADE中

AC=AE ∠ACB=∠AEF ∠ABC=∠ADE=90°

，
∴△ABC≌△ADE（AAS）．

（2）由△ABC≌△ADE可得AB=AD，且AF為公共邊，
在Rt△ABF和Rt△ADF中，AB=AD，AF=AF，
∴Rt△ABF≌Rt△ADF（HL）
∴∠AFB=∠AFD，
∴AF⊥BD（等腰三角形底邊上的三線合一）．

點評：本題考查了全等三角形全等的判定及性質，涉及到等腰三角形的性質，熟練掌握全等三角形的判定是解題的關鍵．