Question

【題目】在直角坐標(biāo)系XOY中，二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，且與x軸的兩個交點(diǎn)間的距離為6.

（1）求二次函數(shù)解析式；

（2）在x軸上方的拋物線上，是否存在點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)Q、A、B為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？如果存在，請求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)，如果不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在點(diǎn)或

【解析】

（1）由已知開設(shè)解析式：，B（7，0），進(jìn)一步可求出結(jié)果；（2）過點(diǎn)O作CD⊥x軸于D，過點(diǎn)Q作QE⊥x軸于E，利用三角函數(shù)求出E,Q坐標(biāo)，證明點(diǎn)Q在拋物線上，由拋物線的對稱性，還存在一點(diǎn)，使△ABQ′∽△CAB.

（1）由已知開設(shè)解析式：，B（7，0）

把B（7，0）代入，求得a=

故所求解析式為

（2）在x軸上方的拋物線上存在點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)Q、A、B為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，

因?yàn)?/span>△ABC為等腰三角形，

∴當(dāng)AB=BQ，

∵AB=6，

∴BQ=6，

過點(diǎn)O作CD⊥x軸于D，則AD=3，CD=，

∴∠BAC=∠ABC=30°，∴∠ACB=120°，∴∠ABQ=120°，

過點(diǎn)Q作QE⊥x軸于E，則∠QBE=60°，

∴QE=BQsin60°=,

∴BE=3,

∴E(10, 0),.

當(dāng)x=10時，

∴點(diǎn)Q在拋物線上，

由拋物線的對稱性，還存在一點(diǎn)，

使△ABQ′∽△CAB故存在點(diǎn)或.