Question

如圖1，在等邊△ABC中，AD是△ABC的角平分線，過點(diǎn)D的直線B₁C₁⊥AC于點(diǎn)C₁，且交AB的延長線于點(diǎn)B．

（1）請你探究：

AC1

AB1

=

C1D

DB1

是否成立？
（2）請你繼續(xù)探究：若△ABC為任意三角形，如圖2，AD是△ABC的角平分線，請問

AC

AB

=

CD

DB

還成立嗎？給出你的結(jié)論并證明．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AD垂直平分BC，∠CAD=∠BAD=30°，AB=AC，則DB=CD；由于∠C₁AB₁=60°，得∠B₁=30°，則AB₁=2AC₁，同理可得到DB₁=2DC₁，易得

AC1

AB1

=

C1D

DB1

；
（2）過B點(diǎn)作BE∥AC交AD的延長線于E點(diǎn)，根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義得到∠E=∠CAD=∠BAD，則BE=AB，并且根據(jù)相似三角形的判定得△EBD∽△ACD，得到

AC

BE

=

CD

DB

，而BE=AB，于是有

AC

AB

=

CD

DB

，這實(shí)際是三角形的角平分線定理．

解答：解：（1）等式成立．理由如下：
∵△ABC為等邊三角形，AD為角平分線，
∴AD垂直平分BC，∠CAD=∠BAD=30°，AB=AC，
∴DB=CD，
∵∠C₁AB₁=60°，
∴∠B₁=30°，
∴AB₁=2AC₁，
又∵∠DAB₁=30°，
∴DA=DB₁，
而DA=2DC₁，
∴DB₁=2DC₁，
∴

AC1

AB1

=

C1D

DB1

；

（2）結(jié)論仍然成立，理由如下：
如右圖所示，△ABC為任意三角形，過B點(diǎn)作BE∥AC交AD的延長線于E點(diǎn)，
∴∠E=∠CAD=∠BAD，
∴BE=AB，
∵BE∥AC，
∴△EBD∽△ACD，
∴

AC

BE

=

CD

DB

，
而BE=AB，
∴

AC

AB

=

CD

DB

．

點(diǎn)評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：平行于三角形一邊的直線被其它兩邊所截，所截得的三角形與原三角形相似；相似三角形對應(yīng)邊的比相等．也考查了等邊三角形的性質(zhì)、含30°的直角三角形三邊的關(guān)系以及角平分線的性質(zhì)．