Question

請(qǐng)閱讀下列材料?：
問題：如圖1，在等邊三角形ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，且PA=2，PB=

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，PC=1．求∠BPC度數(shù)的大小和等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)．
李明同學(xué)的思路是：將△BPC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形（如圖2）．連接PP′，可得△P′PB是等邊三角形（可證），而△PP′A又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可證）．所以∠AP′B=150°，而∠BPC=∠AP′B=150°．進(jìn)而把AB放在Rt△APB（可證得）中，用勾股定理求出等邊△ABC的邊長(zhǎng)為

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．問題得到解決．?
[思路分析]首先仔細(xì)閱讀材料，問題中小明的做法總結(jié)起來就是通過旋轉(zhuǎn)固定的角度將已知條件放在同一個(gè)（組）圖形中進(jìn)行研究．旋轉(zhuǎn)60度以后BP就成了BP′，PC成了P′A，借助等量關(guān)系BP′=PP′，于是△APP′就可以計(jì)算了．
解決問題：
請(qǐng)你參考李明同學(xué)旋轉(zhuǎn)的思路，探究并解決下列問題：
如圖3，在正方形ABCD內(nèi)有一點(diǎn)P，且PA=

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，BP=

2

，PC=1．求∠BPC度數(shù)的大小和正方形ABCD的邊長(zhǎng)．

Answer 1

分析：首先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出△BPC≌△BP′A，利用AP′=PC=1，BP=BP′=

2

得出△AP′P是直角三角形，再利用過點(diǎn)B作BE⊥AP′交AP′的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，利用勾股定理得出AB的長(zhǎng)．

解答：解：如圖3，
將△BPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得△BP′A，
則△BPC≌△BP′A．
∴AP′=PC=1，BP=BP′=

2

．
連結(jié)P P′，
在Rt△BP′P中，
∵BP=BP′=

2

，∠PBP′=90°，
∴P P′=2，∠BP′P=45°．
在△AP′P中，AP′=1，P P′=2，AP=

5

，
∵1²+2²=（

5

）²，
即AP′²+PP′²=AP²．
∴△AP′P是直角三角形，即∠A P′P=90°．
∴∠AP′B=135°．
∴∠BPC=∠AP′B=135°．
如圖3，過點(diǎn)B作BE⊥AP′交AP′的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．
∴∠EP′B=45°．∴EP′=BE=1．∴AE=2．
∴在Rt△ABE中，由勾股定理，得AB=

5

．
∴∠BPC=135°，正方形邊長(zhǎng)為

5

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及勾股定理與逆定理等知識(shí)，根據(jù)已知的點(diǎn)的坐標(biāo)△AP′P是直角三角形是解題關(guān)鍵．