Question

【題目】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝10，點(diǎn)D是射線(xiàn)CB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，△ADE是等邊三角形，點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)EF．

(1)如圖，當(dāng)點(diǎn)D在線(xiàn)段CB上時(shí)，

①求證：△AEF≌△ADC；

②聯(lián)結(jié)BE，設(shè)線(xiàn)段CD＝x，線(xiàn)段BE＝y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式及定義域；

(2)當(dāng)∠DAB＝15°時(shí)，求△ADE的面積．

Answer 1

【答案】(1)①證明見(jiàn)解析；②函數(shù)的解析式是y＝，定義域是0＜x≤5；(2)△ADE的面積為或50+75．

【解析】

（1）①在直角三角形中，由30度所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出的長(zhǎng)，再由為中點(diǎn)，得到，確定出三角形為等邊三角形，利用等式的性質(zhì)得到一對(duì)角相等，再由,利用即可得證；

②由全等三角形對(duì)應(yīng)角相等得到為直角，，在三角形中，利用勾股定理即可列出關(guān)于的函數(shù)解析式及定義域；

（2）分兩種情況考慮：①當(dāng)點(diǎn)D在線(xiàn)段上時(shí)；②當(dāng)點(diǎn)D在線(xiàn)段的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，分別求出三角形面積即可.

(1)①在Rt△ABC中，

∵∠B＝30°，AB＝10，

∴∠CAB＝60°，AC＝AB＝5，

∵點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)，

∴AF＝AB＝5，

∴AC＝AF，

∵△ADE是等邊三角形，

∴AD＝AE，∠EAD＝60°，

∵∠CAB＝∠EAD，即∠CAD+∠DAB＝∠FAE+∠DAB，

∴∠CAD＝∠FAE，

在△AEF和△ADC中，

，

∴△AEF≌△ADC(SAS)；

②∵△AEF≌△ADC，

∴∠AFE＝∠C＝90°，EF＝CD＝x，

又∵點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)，

∴AE＝BE＝y，

在Rt△AEF中，勾股定理可得：y2＝25+x2，

∴函數(shù)的解析式是，定義域是；

(2)①當(dāng)點(diǎn)D在線(xiàn)段CB上時(shí)，

由∠DAB＝15°，可得∠CAD＝45°，△ADC是等腰直角三角形，

∴AD2＝50，

△ADE的面積為；

②當(dāng)點(diǎn)D在線(xiàn)段CB的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，

由∠DAB＝15°，可得∠ADB＝15°，BD＝BA＝10，

∴在Rt△ACD中，勾股定理可得，

△ADE的面積為，

綜上所述，△ADE的面積為或．