Question

【題目】如圖，是的直徑，弦于，為上一點，連接交于，在的延長線上取一點，使，的延長線交的延長線于．

（1）求證：是的切線；

（2）連接，若時．

①求證：；

②若，，求的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①見解析，②

【解析】

（1）連接OG，由EG=EK知∠KGE=∠GKE=∠AKH，結(jié)合OA=OG知∠OGA=∠OAG，根據(jù)CD⊥AB得∠AKH+∠OAG=90°，從而得出∠KGE+∠OGA=90°，據(jù)此即可得證；
（2）①由AC∥EF知∠E=∠C=∠AGD，結(jié)合∠DKG=∠CKE即可證得△KGD∽△KGE；

②連接OG,由，設(shè) 可得，利用 得 即可知 CH 再設(shè)半徑為R, 由 可求得 根據(jù) 知 從而得出答案.

（1）如圖，連接．∵，

∴，

又，∴，

∵，∴，

∴，

∴是的切線．

（2）①∵，∴，

又，∴，

又，

∴．

②連接，如圖所示．∵，，

設(shè)，∴，，則

，，∴，∴．

在中，根據(jù)勾股定理得，

即，，，，則，

設(shè)半徑為，在中，，，，

由勾股定理得：，，∴

在中，，∴，

∴