Question

如圖1，在正方形ABCD中，E是AB上一點，F(xiàn)是AD延長線上一點，且DF=BE．

（1）求證：CE=CF；

（2）在圖1中，若G在AD上，且∠GCE=45°，則GE=BE+GD成立嗎？為什么？

（3）根據(jù)你所學(xué)的知識，運用（1）、（2）解答中積累的經(jīng)驗，完成下列各題：

①如圖2，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B=90°，AB=BC=12，E是AB的中點，且∠DCE=45°，求DE的長；

②如圖3，在△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC，BD=2，CD=3，則△ABC的面積為　_________　（直接寫出結(jié)果，不需要寫出計算過程）．

 

 

Answer 1

（1）證明見解析；

（2）GE=BE+GD成立，理由見解析；

（3）①DE=10；

②△ABC的面積為15．

【解析】

試題分析：（1）因為ABCD為正方形，所以CB=CD，∠B=∠CDA=90°，又因為DF=BE，則△BCE≌△DCF，即可求證CE=CF；

（2）因為∠BCD=90°，∠GCE=45°，則有∠BCE+∠GCD=45°，又因為△BCE≌△DCF，所以∠ECG=∠FCG，CE=CF，CG=CG，則△ECG≌△FCG，故GE=BE+GD成立；

（3）①過點C作CG⊥AD交AD的延長線于點G，利用勾股定理求得DE的長；

②由題中條件，建立圖形，根據(jù)已知條件，運用勾股定理，求出AD的長，再求得△ABC的面積．

試題解析：（1）證明：在正方形ABCD中 CB=CD，∠B=∠CDA=90°，

∴∠CDF=∠B=90°．

在△BCE和△DCF中，

，

∴△BCE≌△DCF（SAS）．

∴CE=CF．

（2）GE=BE+GD成立．理由如下：

∵∠BCD=90°，∠GCE=45°，

∴∠BCE+∠GCD=45°．

∵△BCE≌△DCF（已證），

∴∠BCE=∠DCF．

∴∠GCF=∠GCD+∠DCF=∠GCD+∠BCE=45°．

∴∠ECG=∠FCG=45°．

在△ECG和△FCG中，

，

∴△ECG≌△FCG（SAS）．

∴GE=FG．

∵FG=GD+DF，

∴GE=BE+GD；

（3）①如圖2，過點C作CG⊥AD交AD的延長線于點G，

由（2）和題設(shè)知：DE=DG+BE，

設(shè)DG=x，則AD=12﹣x，DE=x+6，

在Rt△ADE中，由勾股定理，得：

AD2+AE2=DE2

∴62+（12﹣x）2=（x+6）2

解得x=4．

∴DE=6+4=10；

②將△ABD沿著AB邊折疊，使D與E重合，△ACD沿著AC邊折疊，使D與G重合，

可得∠BAD=∠EAB，∠DAC=∠GAC，

∴∠EAG=∠E=∠G=90°，

AE=AG=AD，

BD=EB=2，

DC=CG=3，

∴四邊形AEFG為正方形，

設(shè)正方形的邊長為x，

可得BF=x﹣2，CF=x﹣3，

在Rt△BCF中，

根據(jù)勾股定理得：

BF2+CF2=BC2，

即（x﹣2）2+（x﹣3）2=（2+3）2，

解得：x=6或x=﹣1（舍去），

∴AD=6，

則S△ABC=BC•AD=15．

考點：1.等腰三角形的判定2.全等三角形的判定與性質(zhì)3.勾股定理4.正方形的判定．