Question

3．如圖，已知：矩形OABC的頂點(diǎn)A，C分別在x，y軸的正半軸上，O為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)；直線y=x+1分別交x，y軸及矩形OABC的BC邊于E，M，F(xiàn)，且△EOM≌△FCM；過點(diǎn)F的雙曲線y=$\frac{k}{x}$（x＞0）與AB交于點(diǎn)N．
（1）求k的值；
（2）當(dāng)x0＜x＜1時(shí)，$\frac{k}{x}$＞x+1；
（3）若F為BC中點(diǎn)，求BN的長．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)一次函數(shù)的解析式求出E、M兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再由△EOM≌△FCM得出OM=OC=1，故可得出F點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)F在雙曲線上即可得出k的值；
（2）利用函數(shù)圖象即可直接得出結(jié)論；
（3）先求出N點(diǎn)坐標(biāo)，再由矩形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．

解答 解：∵當(dāng)x=0時(shí)，y=1；當(dāng)y=0時(shí)，x=-1
∴OE=OM=1．
∵△EOM≌△FCM，
∴CM=CF=OE=OM=1，
∴F（1，2）．
（1）∵y=$\frac{k}{x}$的圖象過點(diǎn)F（1，2），
∴k=1×2=2；

（2）由函數(shù)圖象可知，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，$\frac{k}{x}$＞x+1．
故答案為：0＜x＜1；

（3）∵F為矩形OABC的BC邊中點(diǎn)，
∴B（2，2）
∴N（2，a）
∵N在y=$\frac{2}{x}$上
∴a=$\frac{2}{2}$，
∴a=1，
∴AN=1．
∵AB=OC=2，
∴BN=BA-AN=2-1=1．

點(diǎn)評 本題考查的是反比例函數(shù)綜合題，涉及到反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)、矩形的性質(zhì)等知識(shí)，在解答此題時(shí)要注意數(shù)形結(jié)合思想的靈活運(yùn)用．