Question

7．已知：如圖，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形OABC為長方形，A（10，0），C（0，4），點(diǎn)D是OA的中點(diǎn)，點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)．
（1）當(dāng)△ODP是等腰三角形時(shí)，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）求△ODP周長的最小值．（要有適當(dāng)?shù)膱D形和說明過程）

Answer 1

分析 （1）當(dāng)P₁O=OD=5或P₂O=P₂D或P₃D=OD=5或P₄D=OD=5時(shí)分別作P₂E⊥OA于E，DF⊥BC于F，P₄G⊥OA于G，利用勾股定理P₁C，OE，P₃F，DG的值，就可以求出P的坐標(biāo)；
（2）作點(diǎn)D關(guān)于BC的對稱點(diǎn)D′，連接OD′交BC于P，則這時(shí)的△POD的周長最小，即△POD的周長=OD′+OD，根據(jù)勾股定理得到OD′=$\sqrt{O{D}^{2}+DD{′}^{2}}$=$\sqrt{91}$，于是得到結(jié)論．

解答 解：（1）當(dāng)P₁O=OD=5時(shí)，由勾股定理可以求得P₁C=3，
P₂O=P₂D時(shí)，作P₂E⊥OA，
∴OE=ED=2.5；
當(dāng)P₃D=OD=5時(shí)，作DF⊥BC，由勾股定理，得P₃F=3，
∴P₃C=2；
當(dāng)P₄D=OD=5時(shí)，作P₄G⊥OA，由勾股定理，得
DG=3，
∴OG=8．
∴P₁（2，4），P₂（2.5，4），P₃（3，4），P₄（8，4）；

（2）作點(diǎn)D關(guān)于BC的對稱點(diǎn)D′，連接OD′交BC于P，
則這時(shí)的△POD的周長最小，
△POD的周長=OD′+OD，
∵點(diǎn)D是OA的中點(diǎn)，
∴OD=5，DD′=8，
∴OD′=$\sqrt{O{D}^{2}+DD{′}^{2}}$=$\sqrt{89}$，
∴△POD的周長=$\sqrt{89}$+5．

點(diǎn)評 本題考查了軸對稱-最小距離問題，矩形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行四邊形的判定及性質(zhì)，菱形的判定及性質(zhì)，勾股定理的運(yùn)用．