Question

【題目】一次函數(shù)y＝﹣2x﹣2分別與x軸、y軸交于點A、B．頂點為（1，4）的拋物線經(jīng)過點A．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點C為第一象限拋物線上一動點．設(shè)點C的橫坐標(biāo)為m，△ABC的面積為S．當(dāng)m為何值時，S的值最大，并求S的最大值；

（3）在（2）的結(jié)論下，若點M在y軸上，△ACM為直角三角形，請直接寫出點M的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3

（2）當(dāng)m＝2時，S的值最大，最大值為

（3）（0，﹣1）、（0，5）、或

【解析】

(1)設(shè)拋物線的解析式為，代入點A的坐標(biāo)即可求解.
(2)連接0C，可得點根據(jù)一次函數(shù)y=-2x-2得出點A、B的坐標(biāo),然后利用三角形面積公式得出的表達(dá)式,利用二次函數(shù)的表達(dá)式即可求解.

(3)設(shè)M（0，n），已知A、C點坐標(biāo)可求出直線AC的解析式，分三種情況，當(dāng)AC⊥MC，求出M點坐標(biāo)，當(dāng)AC⊥AM時，求出M點坐標(biāo)，當(dāng)AM⊥MC時，求出M點坐標(biāo).

（1）一次函數(shù)y＝﹣2x﹣2與x軸交于點A，則A的坐標(biāo)為（﹣1，0），

∵拋物線的頂點為（1，4），

∴設(shè)拋物線解析式為y＝a（x﹣1）2+4，

∵拋物線經(jīng)過點A（﹣1，0），

∴0＝a（﹣1﹣1）2+4，

∴a＝﹣1，

∴拋物線解析式為y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3；

（2）連接OC，點C為第一象限拋物線上一動點，點C的橫坐標(biāo)為m，

∴C（m，﹣m2+2m+3），

一次函數(shù)y＝﹣2x﹣2與y軸交于點B，則OB＝2，

∵A的坐標(biāo)為（﹣1，0），

∴OA＝1，

∴，

∴當(dāng)m＝2時，S的值最大，最大值為.

（3）設(shè)M（0，n），

∵A（﹣1，0），C（2，3），

∴直線AC的解析式為y＝x+1，

①當(dāng)AC⊥MC時，＝﹣1，

∴n＝5，

∴M（0，5）；

②當(dāng)AC⊥AM時，n＝﹣1，

∴M（0，﹣1）；

③當(dāng)AM⊥MC時，n＝﹣1，

∴n＝

∴M（0，）或M（0，）；

綜上所述：點M的坐標(biāo)為（0，﹣1）、（0，5）、（0，）或（0，）．