Question

6．已知直線y=$\frac{4}{3}$x+8交x軸于A點(diǎn)，交y軸于B點(diǎn)，點(diǎn)C為OB的中點(diǎn)，點(diǎn)D在第二象限，且四邊形AOCD為長(zhǎng)方形．
（1）點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-6，4）；點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-3，4）．
（2）設(shè)直線AB與CD相交于點(diǎn)E，動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度，沿AO、OC向點(diǎn)C作勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，
①△PAE的面積為S，請(qǐng)求出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍；
②在動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)的同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q從C點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度，沿CE向點(diǎn)E作勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)P、Q中的一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)后，該點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，另一點(diǎn)繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，直至到達(dá)終點(diǎn)，整個(gè)運(yùn)動(dòng)停止．問：是否存在這樣的t，使得直線PQ將四邊形AOCE的面積分成1：3兩部分？若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．      

Answer 1

分析 （1）先求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，由C為OB的中點(diǎn)，C的坐標(biāo)，E為AB的中點(diǎn)，再求出CE為△OAB的中位線，得出CE=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{1}{2}$CD=3，即可；
（2）①分點(diǎn)P在OA和OC上，利用面積的差即可得出結(jié)論；
②分三種情況：Ⅰ、當(dāng)0＜t＜3時(shí)，由題意得出關(guān)于t的方程，解方程即可；
Ⅱ、當(dāng)t=3時(shí)，由△EOC的面積=$\frac{1}{2}$×3×4=6≠18×$\frac{1}{4}$，得出t≠3；
Ⅲ、當(dāng)3＜t≤5時(shí)，Q停止運(yùn)動(dòng)，OP=2t-6，得出CP=10-2t，由△ECP的面積=$\frac{1}{2}$×3×（10-2t）=$\frac{1}{4}$×18，解方程即可．

解答 （1）證明：對(duì)于直線y=$\frac{4}{3}$x+8，
當(dāng)x=0時(shí)，y=8；當(dāng)y=0時(shí)，x=-6；
∴A（-6，0），B（0，8），OA=6，OB=8，
∵四邊形AOCD是矩形，
∴OA∥CD，CD=OA=6，AD=OC=4，
∴D（-6，4），
∵點(diǎn)C為OB的中點(diǎn)，
∴E為AB的中點(diǎn)，
∴CE為△OAB的中位線，
∴CE=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{1}{2}$CD=3，
∴E（-3，4）
故答案為：（-6，4），（-3，4）
（2）解：①當(dāng)0＜t≤3時(shí)，如圖3

由運(yùn)動(dòng)知，AP=2t，
∴S=S_△PAE=$\frac{1}{2}$AP×OC=2×2t=4t，
當(dāng)3＜t≤5時(shí)，如圖4，

由運(yùn)動(dòng)知，OP=2t-OA=2t-6，∵OC=4，∴PC=OC-OP=4-（2t-6）=10-2t，
∴S=S_△PAE=S_梯形AOCE-S_△AOP-S_△PCE
=$\frac{1}{2}$（CE+OA）•OC-$\frac{1}{2}$OA•OP-$\frac{1}{2}$CE•PC
=$\frac{1}{2}$（3+6）×4-$\frac{1}{2}$×6×（2t-6）-$\frac{1}{2}$×3×（10-2t）
=-3t+21
∴S=$\left\{\begin{array}{l}{4t（0＜t≤3）}\\{-3t+21（3＜t≤5）}\end{array}\right.$
②存在；
梯形AOCE的面積=$\frac{1}{2}$（3+6）×4=18；
分三種情況討論：
Ⅰ、當(dāng)0＜t＜3時(shí)，如圖1，

若梯形APQE的面積=$\frac{1}{2}$（2t+3-t）×4=18×$\frac{1}{4}$，
解得：t=-$\frac{3}{4}$，不合題意，舍去；
若梯形APQE的面積=$\frac{1}{2}$（2t+3-t）×4=18×$\frac{3}{4}$，
解得：t=$\frac{15}{4}$，不合題意，舍去；
Ⅱ、當(dāng)t=3時(shí)，∵△EOC的面積=$\frac{1}{2}$×3×4=6≠18×$\frac{1}{4}$，
∴t≠3；
Ⅲ、當(dāng)3＜t≤5時(shí)，如圖2，

Q停止運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)Q與E重合），OP=2t-6，
∴CP=4-（2t-6）=10-2t，
當(dāng)△ECP的面積=$\frac{1}{2}$×3×（10-2t）=$\frac{1}{4}$×18時(shí)，
解得：t=$\frac{7}{2}$，符合題意；
綜上所述：當(dāng)t=$\frac{7}{2}$時(shí)，直線PQ將四邊形AOCE的面積分成1：3兩部．

點(diǎn)評(píng) 本題是一次函數(shù)綜合題，考查了一次函數(shù)點(diǎn)的坐標(biāo)特征、三角形中位線的性質(zhì)、梯形面積的計(jì)算、三角形面積的計(jì)算、解方程等知識(shí)；本題難度較大，綜合性強(qiáng)，特別是（2）中，需要進(jìn)行分類討論，才能得出結(jié)果．