Question

18．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=x²-2x與x軸交與O、B兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為P，連接OP、BP，直線y=x-4與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于點(diǎn)D．

（1）直接寫出點(diǎn)B坐標(biāo)（2，0）；判斷△OBP的形狀△OBP是等腰直角三角形；
（2）將拋物線向下平移m個單位長度，平移的過程中交y軸于點(diǎn)A，分別連接CP、DP：
①當(dāng)S_△PCD=$\sqrt{2}$S_△POC時，求平移后的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；
②在向下平移的過程中，試探究S_△PCD和S_△POD之間的數(shù)量關(guān)系；直接寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系及對應(yīng)的m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和拋物線頂點(diǎn)公式即可得出B，P坐標(biāo)，進(jìn)而用勾股定理的逆定理即可得出結(jié)論；
（2）先確定出點(diǎn)C，D坐標(biāo)，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，確定出平移后拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得出PM，即可得出△PCD的面積，
①求出△POC的面積即可得出△PCD的面積，最后用面積公式即可確定出點(diǎn)P坐標(biāo)；
②求出△POD的面積，進(jìn)而分三種情況尋找△PCD和△POD的面積關(guān)系．

解答 解：（1）∵拋物線y=x²-2x=x（x-2），
∴B（2，0），
∵拋物線y=x²-2x=（x-1）²-1，
∴P（1，-2），
∴OP²=2，BP²=2OB²=4，
∴OP²+BP²=OB²，OP=BP，
∴△OBP是等腰直角三角形，
故答案為：（2，0），△OBP是等腰直角三角形；
（2）如圖2，∵直線y=x-4與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于點(diǎn)D．
∴C（0，-4），D（4，0），
當(dāng)x=1時，y=-3，
∴M（1，-3）；
拋物線向下平移m個單位長度，
∴平移后的拋物線解析式為y=（x-1）²-（1+m），P（1，-（1+m），
∴PM=|-（1+m）+3|=|m-2|
∴S_△PCD=S_△PMC+S_△PMD=$\frac{1}{2}$PM•|x_D-x_C|=$\frac{1}{2}$×|m-2|×4=2|m-2|，
①S_△POC=$\frac{1}{2}$AC×|x_P|=$\frac{1}{2}$×4×1=2，
∵S_△PCD=$\sqrt{2}$S_△POC，
∴S_△PCD=2|m-2|=2$\sqrt{2}$，
∴m=2+$\sqrt{2}$或m=2-$\sqrt{2}$．
∴P（1，-（3+$\sqrt{2}$））或（1，-（3-$\sqrt{2}$））；
②S_△POD=$\frac{1}{2}$OD•|y_P|=$\frac{1}{2}$×4×|-（1+m）|=2|m+1|
Ⅰ、當(dāng)m≥2時，
∴S_△PCD=2|m-2|=2m-4
S_△POD=2|m+1|=2m+2，
∴S_△POD-S_△PCD=6，
Ⅱ、當(dāng)-1≤m＜2時，
∴S_△PCD=2|m-2|=4-2m
S_△POD=2|m+1|=2m+2，
∴S_△POD+S_△PCD=6，
Ⅲ、當(dāng)m＜-1時，
∴S_△PCD=2|m-2|=4-2m
S_△POD=2|m+1|=-2-2m，
∴S_△PCD-S_△POD=6，
即：當(dāng)m≥2時，S_△POD-S_△PCD=6，當(dāng)-1≤m＜2時，S_△POD+S_△PCD=6，當(dāng)m＜-1時，S_△PCD-S_△POD=6．

點(diǎn)評 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了坐標(biāo)軸上點(diǎn)的特點(diǎn)，直角三角形的判定，三角形的面積公式，解絕對值方程，熟練掌握坐標(biāo)系中三角形面積的計(jì)算方法是解本題的關(guān)鍵，利用參數(shù)尋找△POD和△PCD的面積關(guān)系是解本題的難點(diǎn)，是一道中等難點(diǎn)的中考�？碱}．