Question

4．為了響應(yīng)國家“自主創(chuàng)業(yè)”的號(hào)召，某大學(xué)畢業(yè)生開辦了一個(gè)裝飾品商店，采購了一種今年剛上市的飾品進(jìn)行了30天的試銷，購進(jìn)價(jià)格為20元/件，銷售結(jié)束后，得知日銷售量P（件）與銷售時(shí)間x（天）之間的關(guān)系如圖（1）所示，銷售價(jià)格Q（元/件）與銷售時(shí)間x（天）之間的關(guān)系如圖（2）所示．

（1）根據(jù)圖象直接寫出：日銷售量P（件）與銷售時(shí)間x（天）之間的函數(shù)關(guān)系式為P=-2x+80；銷售單價(jià)
Q（元/件）與銷售時(shí)間x（天）的函數(shù)關(guān)系式為Q=$\frac{1}{2}$x+30．（不要求寫出自變量的取值范圍）
（2）寫出該商品的日銷售利潤(rùn)W（元）和銷售時(shí)間x（天）之間的函數(shù)關(guān)系式；（不要求寫出自變量的取值范圍）
（3）請(qǐng)問在30天的試銷售中，哪一天的日銷售利潤(rùn)最大？并求出這個(gè)最大利潤(rùn)．

Answer 1

分析 （1）設(shè)P=kx+80，將（30，20）代入可求出k的值，得出日銷售量P（件）與銷售時(shí)間x（天）之間的函數(shù)關(guān)系式；設(shè)Q=mx+30，將（30，45）代入可求出m的值，得出Q（元/件）與銷售時(shí)間x（天）的函數(shù)關(guān)系式；
（2）根據(jù)銷售問題中的基本等量關(guān)系：銷售利潤(rùn)=日銷售量×（一件的銷售價(jià)-一件的進(jìn)價(jià)），建立函數(shù)關(guān)系式；
（3）將（2）中函數(shù)關(guān)系式配方可得其頂點(diǎn)式，結(jié)合自變量x的范圍，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)的最值情況．

解答 解：（1）設(shè)P=kx+80，將（30，20）代入，
得20=30k+80，解得k=-2，
所以日銷售量P（件）與銷售時(shí)間x（天）之間的函數(shù)關(guān)系式為P=-2x+80；
設(shè)Q=mx+30，將（30，45）代入，
得45=30m+30，解得m=$\frac{1}{2}$，
所以Q（元/件）與銷售時(shí)間x（天）的函數(shù)關(guān)系式為Q=$\frac{1}{2}$x+30．
故答案為P=-2x+80，Q=$\frac{1}{2}$x+30；

（2）根據(jù)題意，得W=P（Q-20）=（-2x+80）[（$\frac{1}{2}$x+30）-20]=-x²+20x+800（1≤x≤30，且x為正整數(shù)），
即W=-x²+20x+800；

（3）∵w=-x²+20x+800=-（x-10）²+900，
∴當(dāng)x=10時(shí)，W取最大值為900．
∴在30天的試銷中，第10天的日銷售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為900元．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，根據(jù)營(yíng)銷問題中的基本等量關(guān)系建立函數(shù)關(guān)系式是解題關(guān)鍵．