Question

如圖，拋物線y=

4

9

x²-

8

3

x-12與x軸交于A、C兩點，與y軸交于B點．
（1）求△AOB的外接圓的面積；
（2）若動點P從點A出發(fā)，以每秒2個單位沿射線AC方向運動；同時，點Q從點B出發(fā)，以每秒1個單位沿射線BA方向運動，當點P到達點C處時，兩點同時停止運動．問當t為何值時，以A、P、Q為頂點的三角形與△OAB相似？
（3）若M為線段AB上一個動點，過點M作MN平行于y軸交拋物線于點N．
①是否存在這樣的點M，使得四邊形OMNB恰為平行四邊形？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．
②當點M運動到何處時，四邊形CBNA的面積最大？求出此時點M的坐標及四邊形CBAN面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）將y=0代入y=

4

9

x²-

8

3

x-12，解方程

4

9

x²-

8

3

x-12=0，求出x的值，得到A，C的坐標；將x=0代入y=

4

9

x²-

8

3

x-12，求出y的值，得到B點坐標，在直角△AOB中運用勾股定理求出AB的長，則△AOB的外接圓的半徑為

1

2

AB，根據圓的面積公式求解即可；
（2）以A、P、Q為頂點的三角形與△OAB相似時，由于∠PAQ=∠OAB，所以分兩種情況進行討論：①△APQ∽△AOB；②△AQP∽△AOB；根據相似三角形對應邊的比相等列出比例式，求解即可；
（3）先運用待定系數法求出直線AB的解析式為y=

4

3

x-12，再設點M的橫坐標為x，則M（x，

4

3

x-12），N（x，

4

9

x²-

8

3

x-12）．
①若四邊形OMNB為平行四邊形，根據平行四邊形的性質得出MN=OB=12，據此列出方程（

4

3

x-12）-（

4

9

x²-

8

3

x-12）=12，由判別式△＜0即可判斷出不存在這樣的點M，使得四邊形OMNB恰為平行四邊形；
②由于S_{四邊形CBNA}=S_△ACB+S_△ABN，而S_△ACB=72為定值，所以當S_△ABN最大時，S_{四邊形CBNA}最大．根據S_△ABN=S_△OBN+S_△OAN-S_△AOB，計算得出S_△ABN=-2x²+18x=-2（x-

9

2

）²+

81

2

，根據二次函數的性質得出當x=

9

2

時，S_△ABN有最大值

81

2

，進而求出此時點M的坐標及四邊形CBAN面積的最大值．

解答：解：（1）∵y=

4

9

x²-

8

3

x-12，
∴當y=0時，

4

9

x²-

8

3

x-12=0，解得x=9或-3，
∴A（9，0），C（-3，0）；
當x=0時，y=-12，
∴B（0，-12），
∴OA=9，OB=12，∴AB=15，
∴S=π•（

15

2

）²=

225

4

π；

（2）∵AP=2t，BQ=t，∴AQ=15-t，
∵A（9，0），C（-3，0），∴AC=12，
∴0≤t≤6．
以A、P、Q為頂點的三角形與△OAB相似時，分兩種情況：
①若△APQ∽△AOB，則

AP

AO

=

AQ

AB

，
即

2t

9

=

15-t

15

，解得t=

45

13

；
②若△AQP∽△AOB，則

AP

AB

=

AQ

AO

，
即

2t

15

=

15-t

9

，解得t=

75

11

＞6（舍去），
∴當t=

45

13

時，以A、P、Q為頂點的三角形與△OAB相似；

（3）設直線AB的解析式為y=kx+b，
∵A（9，0），B（0，-12），
∴

9k+b=0 b=-12

，解得

k= 4 3 b=-12

，
∴直線AB的函數關系式為y=

4

3

x-12．
設點M的橫坐標為x，則M（x，

4

3

x-12），N（x，

4

9

x²-

8

3

x-12）．
①若四邊形OMNB為平行四邊形，則MN=OB=12，
即（

4

3

x-12）-（

4

9

x²-

8

3

x-12）=12，
整理，得x²-9x+27=0，
∵△=81-101＜0，
∴此方程無實數根，
∴不存在這樣的點M，使得四邊形OMNB恰為平行四邊形；

②∵S_{四邊形CBNA}=S_△ACB+S_△ABN=

1

2

×12×12+S_△ABN=72+S_△ABN，
∵S_△AOB=

1

2

×12×9=54，S_△OBN=

1

2

×12•x=6x，S_△OAN=

1

2

×9×（-

4

9

x²+

8

3

x+12）=-2x²+12x+54，
∴S_△ABN=S_△OBN+S_△OAN-S_△AOB=6x+（-2x²+12x+54）-54=-2x²+18x=-2（x-

9

2

）²+

81

2

，
∴當x=

9

2

時，S_△ABN有最大值

81

2

，
此時M（

9

2

，-6），四邊形CBAN面積的最大值為：72+

81

2

=

225

2

．

點評：本題是二次函數的綜合題型，其中涉及到的知識點有二次函數圖象上點的坐標特征，勾股定理，三角形的外接圓，相似三角形的性質，一元二次方程根的判別式，平行四邊形的性質，三角形、四邊形的面積求法，二次函數的最值．綜合性較強，有一定難度．在求有關動點問題時要注意分析題意分情況討論結果．