Question

如圖，半徑為4的⊙O中直徑AB垂直弦CD于E，過C作⊙O的切線CP交AB的延長線于P，連接DB并延長交CP于F，連接AC，AD，PD，OF．
（1）求證：PD是⊙O的切線；
（2）若E為半徑 OB的中點，求線段OF的長度．

Answer 1

分析：（1）連接OD、OC．欲證PD是⊙O的切線，只需證明OD⊥PD即可；通過全等三角形△COP≌△DOP（SAS）的對應(yīng)角∠OCP=∠ODP=90°來證明該結(jié)論；
（2）利用等邊三角形的判定知△ODB和△PCD均為等邊三角形，然后由等邊三角形的“三線合一”的性質(zhì)、勾股定理求得OF的長度．

解答：（1）證明：連接OD、OC．
∵OC=OD（⊙O的半徑），AB是直徑，直徑AB⊥弦CD（已知），
∴OE是∠COD的平分線，
∴∠COE=∠DOE；
在△COP和△DOP中，
∵

OC=OD ∠COP=∠DOP OP=OP(公共邊)

，
∴△COP≌△DOP（SAS），
∴∠OCP=∠ODP（全等三角形的對應(yīng)角相等）；
又∵CP是⊙O的切線，
∴∠OCP=90°（切線的性質(zhì)），
∴∠ODP=90°（等量代換），
∵點D在⊙O上，
∴PD是⊙O的切線；

（2）解：∵CD⊥AB，點E是OB的中點，
∴OD=BD；
又∵OB=OD，
∴OB=OD=BD，
∴△BOD是等邊三角形，
∴∠ODB=60°，
∴∠ODE=∠BDE=30°（等腰三角形的“三線合一”的性質(zhì)），
∵OD=4，
∴DE=OD•sin∠DOE=2

3

，
∴CD=2DE=4

3

；
∵∠ODP=90°，
∴∠CDP=60°；
∵PC、PD是⊙O的兩條切線，
∴PC=PD，
∴△PCD是等邊三角形（有一內(nèi)角為60°的等腰三角形是等邊三角形），
∴CD=PD，
∴點F是PC的中點；
在Rt△CDF中，CD=4

3

，∠CDF=30°，則CF=

1

2

CD=2

3

（30°角所對的直角邊是斜邊的一半）；
在Rt△OCF中，OF=

OC2+CF2

=

16+12

=2

7

（勾股定理）．

點評：本題綜合考查了切線的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及等邊三角形的判定與性質(zhì)．有一內(nèi)角為60°的等腰三角形是等邊三角形．