Question

如圖邊長(zhǎng)為a的正方形ABCD沿直線l向右滾動(dòng)．當(dāng)正方形滾動(dòng)一周時(shí)，正方形中心O經(jīng)過(guò)的路程為

2

πa

此時(shí)點(diǎn)A經(jīng)過(guò)的路程為

(1+

2

2

)πa

．

Answer 1

分析：要計(jì)算正方形滾動(dòng)一周時(shí)，正方形中心O和頂點(diǎn)A所走的路程，就必須弄清它們的運(yùn)動(dòng)過(guò)程：
中心O：當(dāng)正方形滾動(dòng)一周時(shí)，中心O所經(jīng)過(guò)的路程為4段弧，且都是以90°為圓心角、對(duì)角線的一半為半徑，因此中心O實(shí)際經(jīng)過(guò)的路程是一個(gè)圓，且半徑為對(duì)角線的一半，由此得解；點(diǎn)A：當(dāng)正方形滾動(dòng)一周時(shí)，點(diǎn)A也經(jīng)過(guò)了4段弧，可分作兩部分：
一、以90°為圓心角、對(duì)角線長(zhǎng)為半徑的兩段弧，二、以90°為圓心角、邊長(zhǎng)長(zhǎng)為半徑的兩段��；可根據(jù)弧長(zhǎng)計(jì)算公式進(jìn)行求解即可．

解答：解：根據(jù)勾股定理可得：AC=

2

a，即OC=

2

2

a，
正方形中心O經(jīng)過(guò)的路程=

90π× 2 2 a×4

180

=

2

aπ，
點(diǎn)A經(jīng)過(guò)的路程=

90π× 2 a

180

+

90π×a×2

180

=(1+

2

2

)πa．
故答案為：

2

aπ，（1+

2

2

）πa．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了弧長(zhǎng)的計(jì)算方法以及銳角三角函數(shù)的定義，能夠發(fā)現(xiàn)正方形滾動(dòng)過(guò)程中，中心和頂點(diǎn)的移動(dòng)軌跡是解答此題的關(guān)鍵．