Question

（12分）已知，平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的邊OC在x軸正半軸上，邊OA在y軸正半軸上，B點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，3）．將△AOC沿對(duì)角線(xiàn)AC所在的直線(xiàn)翻折，得到△AO’C，點(diǎn)O’為點(diǎn)O的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，CO’與AB相交于點(diǎn)E（如圖①）．

（1）試說(shuō)明：EA＝EC；

（2）求直線(xiàn)BO’的解析式；

（3）作直線(xiàn)OB（如圖②），直線(xiàn)l平行于y軸，分別交x軸、直線(xiàn)OB、O’B于點(diǎn)P、M、N，設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m （m>0）。y軸上是否存在點(diǎn)F，使得ΔFMN為等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

（1）見(jiàn)解析； （2） （3）

【解析】

試題分析：（1）要想證EA＝EC，只需要證∠EAC=∠ACE即可，而由折疊的性質(zhì)可得∠ACO=∠ACE，再根據(jù)矩形的性質(zhì)可得∠EAC=∠ACO，可證；（2）先求得點(diǎn)O’的坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；

（3）用P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m表示出點(diǎn)M、N的坐標(biāo)及線(xiàn)段MN的長(zhǎng)度，然后分情況討論解答即可.

試題解析：（1）由折疊得∠ACO=∠ACE，∵四邊形OABC是矩形，∴AB∥CO，∴∠EAC=∠ACO，∴∠EAC=∠ACE，∴EA＝EC；

（2）由題意得點(diǎn)O’的坐標(biāo)為（，），設(shè)函數(shù)關(guān)系式為

∵圖象過(guò)點(diǎn)（，），（4，3）

，解得

∴函數(shù)關(guān)系式為①；

（3）∵B為（4，3），所以直線(xiàn)BO為②，∵l∥y軸，交x軸于P，P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，∴P（m，0）（m＞0），∴直線(xiàn)l的解析式為x=m③，解②③得M（m，）；解①②得：N（m，- m+6），∴MN=|- m+6|，Ⅰ）當(dāng)∠FMN=90°且△FMN為等腰三角形時(shí)，F(xiàn)（0，），∴FM=MN，即：m=|- m+6|，解得：m=或m=12，Ⅱ）同理當(dāng)∠FNM=90°且△FMN為等腰三角形時(shí)，F(xiàn)（0，- m+6），∴FN=MN，即：m=|-m+6|，解得：m= 或m=12，Ⅲ）當(dāng)∠MFN=90°且△FMN為等腰三角形時(shí)，F(xiàn)（0，3），∴，,，而，所以，解得m=或m=-12（舍去）；綜上可知存在使得△FMN為等腰直角三角形的點(diǎn)F，此時(shí)m的值為.

考點(diǎn)：1.待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；2.等腰三角形的判定；3.折疊的性質(zhì)；4.勾股定理.