Question

如圖（1），矩形ABCD的一邊BC在直角坐標系中x軸上，折疊邊AD,使點D落在x軸上點F處，折痕為AE，已知AB=8，AD=10，并設點B坐標為（m,0），其中m＞0.
【小題1】求點E、F的坐標（用含m的式子表示）；
【小題2】連接OA，若△OAF是等腰三角形，求m的值；
【小題3】如圖（2），設拋物線y=a(x－m－6)²+h經(jīng)過A、E兩點，其頂點為M，連接AM，
若∠OAM=90°，求a、h、m的值.

（1）                            （2）

Answer 1

【小題1】E(m+10,3),F（m+6,0）
【小題1】m=6或4或
【小題1】m=12

解析【小題1】解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD=BC=10，AB=CD=8，∠D=∠DCB=∠ABC=90°.
由折疊對稱性：AF=AD=10，F(xiàn)E=DE.
在Rt△ABF中，BF=.
∴FC=4.
設DE=x,在Rt△ECF中，4²+（8-x）²=x²，解得x=5.
∴CE=8-x=3.
∵B（m，0）,∴E(m+10,3),F（m+6,0）.

【小題1】分三種情形討論：
若AO=AF，∵AB⊥OF，∴OB=BF=6.∴m=6.
若OF=AF，則m+6=10，解得m=4.  
若AO=OF，在Rt△AOB中，AO²=OB²+AB²=m²+64，
∴（m+6）²= m²+64，解得m=.   
綜合得m=6或4或
【小題1】由（1）知A(m,8)，E(m+10,3).
依題意，得， 解得  ………………………（8分）
∴M（m+6，﹣1）.
設對稱軸交AD于G.
∴G（m+6,8），∴AG=6，GM=8－（﹣1）=9.
∵∠OAB+∠BAM=90°，∠BAM+∠MAG=90°，
∴∠OAB=∠MAG.
又∵∠ABO=∠MGA=90°，
∴△AOB∽△AMG.  ∴，即.∴m="12."