Question

Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=15，AC=20．CD為斜邊AB上的高．矩形EFGH的邊EF與CD重合，A、D、B、G在同一直線上（如圖1）．將矩形EFGH向左邊平移，EF交AC于M（M不與A重合，如圖2），連接BM，BM交CD于N，連接NF．
（1）直接寫出圖2中所有與△CDB相似的三角形；
（2）設(shè)CE=x，△MNF的面積為y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，寫出自變量x的取值范圍，并求△MNF的最大面積；
（3）在平移過程中是否存在四邊形MFNC為平行四邊形的情形？若存在，求出x的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）有△CEM∽△CDB，△AFM∽△CDB，△ADC∽△CDB，△ACB∽△CDB；
（2）過N作NQ⊥EF于Q，求出EC=DF=NQ=x，由勾股定理求出AB=25，根據(jù)三角形面積公式求出CD=12，由勾股定理求出AD=16，BD=9，根據(jù)△AMF∽△ACD求出FM=-

3

4

x+12，代入y=

1

2

FM×NQ求出即可；
（3）根據(jù)△BDN∽△BFM求出DN=

9

9+x

（-

3

4

x+12），求出CN=12-

9

9+x

（-

3

4

x+12），根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出方程-

3

4

x+12=12-

9

9+x

（-

3

4

x+12），求出方程的解即可．

解答：解：（1）△CEM∽△CDB，△AFM∽△CDB，△ADC∽△CDB，△ACB∽△CDB；

（2）
過N作NQ⊥EF于Q，如圖2，
∵據(jù)平移和矩形性質(zhì)得出EF∥CD，EC∥FD，
∴四邊形EFDC是矩形，
∴EC=DF=NQ=x，
∵△ACB中，∠ACB=90°，BC=15，AC=20，由勾股定理得：AB=25，
S_△ACB=

1

2

AB×CD=

1

2

AC×BC，
∴CD=12，由勾股定理得：AD=16，BD=9，
∵EF∥DC，
∴△AMF∽△ACD，
∴

FM

CD

=

AF

AD

，
∴

FM

12

=

16-x

16

，
FM=-

3

4

x+12，
∴y=

1

2

FM×NQ=

1

2

（-

3

4

x+12）x，
y=-

3

8

x²+6x，
y=-

3

8

x2+6x，
y=-

3

8

（x-8）²+24，
即當(dāng)x=8時(shí)，△MNF的最大面積是24；
自變量x的取值范圍是0＜x＜16，當(dāng)x=8時(shí)，有最大值24；

（3）∵EF∥CD，
∴△BDN∽△BFM，
∴

DN

FM

=

BD

BF

，
∴

DN

- 3 4 x+12

=

9

9+x

，
∴DN=

9

9+x

（-

3

4

x+12），
∴CN=12-DN=12-

9

9+x

（-

3

4

x+12），
假設(shè)存在四邊形MFNC為平行四邊形，
此時(shí)CN=FM，
即-

3

4

x+12=12-

9

9+x

（-

3

4

x+12），
解得：x=6，
即在平移過程中存在四邊形MFNC為平行四邊形的情形，此時(shí)x的值是6．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，矩形的性質(zhì)和判定，平行四邊形性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理和計(jì)算的能力，有一定的難度．