Question

【題目】已知：關(guān)于x的方程：mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2=0．
（1）求證：無論m取何值時，方程恒有實數(shù)根；
（2）若關(guān)于x的二次函數(shù)y=mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2的圖象與x軸兩交點間的距離為2時，求拋物線的解析式．

Answer 1

【答案】
（1）解：①當m=0時，原方程可化為x﹣2=0，解得x=2；

②當m≠0時，方程為一元二次方程，

△=[﹣（3m﹣1）]2﹣4m（2m﹣2）

=m2+2m+1

=（m+1）2≥0，故方程有兩個實數(shù)根；

故無論m為何值，方程恒有實數(shù)根

（2）解：∵二次函數(shù)y=mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2的圖象與x軸兩交點間的距離為2，

∴ =2，

整理得，3m2﹣2m﹣1=0，

解得m1=1，m2=﹣ ．

則函數(shù)解析式為y=x2﹣2x或y=﹣ x2+2x﹣

【解析】（1）分兩種情況討論：①當m=0時，方程為一元一次方程，若能求出解，則方程有實數(shù)根；②當m≠0時，方程為一元二次方程，計算出△的值為非負數(shù)，可知方程有實數(shù)根．（2）根據(jù)二次函數(shù)與x軸的交點間的距離公式，求出m的值，從而得到拋物線的解析式．
【考點精析】本題主要考查了求根公式和拋物線與坐標軸的交點的相關(guān)知識點，需要掌握根的判別式△=b2-4ac，這里可以分為3種情況：1、當△>0時，一元二次方程有2個不相等的實數(shù)根2、當△=0時，一元二次方程有2個相同的實數(shù)根3、當△<0時，一元二次方程沒有實數(shù)根；一元二次方程的解是其對應的二次函數(shù)的圖像與x軸的交點坐標．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函數(shù)中表示圖像與x軸是否有交點．當b2-4ac>0時，圖像與x軸有兩個交點；當b2-4ac=0時，圖像與x軸有一個交點；當b2-4ac<0時，圖像與x軸沒有交點．才能正確解答此題．