Question

如圖，A、B的坐標(biāo)分別為A（2，0）、B（0，4），以B為頂點在第一象限作等腰Rt△ABC，∠ABC=90°．
（1）求點C的坐標(biāo)；
（2）在y軸上是否存在一點M，使得MA+MC最小，如果存在，請標(biāo)出點M的位置；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）作CE⊥y軸，CD⊥x軸．
在Rt△BEC和Rt△AOB中，
，
∴△BEC≌△AOB，
∴EC=OB=4，
BE=OA=2，
∴OD=EC=4，
OE=OB+BE=4+2=6．
故C點坐標(biāo)為（4，6）；

（2）作A的對稱點F（-2，0），連接FC，與y軸交于M，
根據(jù)軸對稱圖形的性質(zhì)，AM=FM，
于是AM+MC=FM+MC=FC，
FC的長為MA+MC的最小值．
因為C（4，6），F(xiàn)（-2，0），
設(shè)解析式為y=kx+b，
把C（4，6），F(xiàn)（-2，0）代入解析式得，
，
解得，．
故解析式為y=x+2．
當(dāng)x=0時，y=2．
故M坐標(biāo)為：（0，2）．
分析：（1）作CE⊥y軸，構(gòu)造直角三角形，得到△BEC≌△AOB，求出OD、OE的長即可；
（2）作出A關(guān)于y軸的對稱點，求出直線CF的解析式，即可求得到M點坐標(biāo)．
點評：此題考查了相似三角形的性質(zhì)、軸對稱圖形的性質(zhì)、最短路徑問題等，有一定的難度，綜合性較強，注意作出圖形幫助解答．