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        1. (2013•寧波)如圖,等腰直角三角形ABC頂點A在x軸上,∠BCA=90°,AC=BC=2
          2
          ,反比例函數(shù)y=
          3
          x
          (x>0)的圖象分別與AB,BC交于點D,E.連結(jié)DE,當△BDE∽△BCA時,點E的坐標為
          3
          2
          2
          2
          3
          2
          2
          ,
          2
          分析:由相似三角形的對應角相等推知△BDE的等腰直角三角形;根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征可設E(a,
          3
          a
          ),D(b,
          3
          b
          ),由雙曲線的對稱性可以求得ab=3;最后,將其代入直線AD的解析式即可求得a的值.
          解答:解:如圖,∵∠BCA=90°,AC=BC=2
          2
          ,反比例函數(shù)y=
          3
          x
          (x>0)的圖象分別與AB,BC交于點D,E,
          ∴∠BAC=∠ABC=45°,且可設E(a,
          3
          a
          ),D(b,
          3
          b
          ),
          ∴C(a,0),B(a,2
          2
          ),A(a-2
          2
          ,0),
          ∴易求直線AB的解析式是:y=x+2
          2
          -a.
          過點O作一,三象限的角平分線即直線y=x,
          又∵△BDE∽△BCA,
          ∴∠BDE=∠BCA=90°,
          ∴直線y=x與直線DE垂直,
          ∴點D、E關于直線y=x對稱,則
          a+b
          2
          =
          3
          a
          +
          3
          b
          2
          ,即ab=3.
          又∵點D在直線AB上,
          3
          b
          =b+2
          2
          -a,即2a2-2
          2
          a-3=0,
          解得,a=
          3
          2
          2

          ∴點E的坐標是(
          3
          2
          2
          ,
          2
          ).
          故答案是:(
          3
          2
          2
          2
          ).
          點評:本題綜合考查了相似三角形的性質(zhì)、反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征、一次函數(shù)圖象上的點的坐標特征、待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式.解題時,注意雙曲線的對稱性的應用.
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           (1)求直線AB的函數(shù)解析式;
          (2)當點P在線段AB(不包括A,B兩點)上時.
          ①求證:∠BDE=∠ADP;
          ②設DE=x,DF=y.請求出y關于x的函數(shù)解析式;
          (3)請你探究:點P在運動過程中,是否存在以B,D,F(xiàn)為頂點的直角三角形,滿足兩條直角邊之比為2:1?如果存在,求出此時點P的坐標:如果不存在,請說明理由.

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