Question

（2013•寧波）如圖，AE是半圓O的直徑，弦AB=BC=4

2

，弦CD=DE=4，連結(jié)OB，OD，則圖中兩個陰影部分的面積和為

10π

．

Answer 1

分析：根據(jù)弦AB=BC，弦CD=DE，可得∠BOD=90°，∠BOD=90°，過點(diǎn)O作OF⊥BC于點(diǎn)F，OG⊥CD于點(diǎn)G，在四邊形OFCG中可得∠FCD=135°，過點(diǎn)C作CN∥OF，交OG于點(diǎn)N，判斷△CNG、△OMN為等腰直角三角形，分別求出NG、ON，繼而得出OG，在Rt△OGD中求出OD，即得圓O的半徑，代入扇形面積公式求解即可．

解答：解：
∵弦AB=BC，弦CD=DE，
∴點(diǎn)B是弧AC的中點(diǎn)，點(diǎn)D是弧CE的中點(diǎn)，
∴∠BOD=90°，
過點(diǎn)O作OF⊥BC于點(diǎn)F，OG⊥CD于點(diǎn)G，
則BF=FC=2

2

，CG=GD=2，∠FOG=45°，
在四邊形OFCG中，∠FCD=135°，
過點(diǎn)C作CN∥OF，交OG于點(diǎn)N，
則∠FCN=90°，∠NCG=135°-90°=45°，
∴△CNG為等腰三角形，
∴CG=NG=2，
過點(diǎn)N作NM⊥OF于點(diǎn)M，則MN=FC=2

2

，
在等腰三角形MNO中，NO=

2

MN=4，
∴OG=ON+NG=6，
在Rt△OGD中，OD=

OG2+GD2

=

62+22

=2

10

，
即圓O的半徑為2

10

，
故S_陰影=S_扇形OBD=

90π×(2 10 )2

360

=10π．
故答案為：10π．

點(diǎn)評：本題考查了扇形的面積計(jì)算、勾股定理、垂徑定理及圓心角、弧之間的關(guān)系，綜合考察的知識點(diǎn)較多，解答本題的關(guān)鍵是求出圓0的半徑，此題難度較大．