Question

（2013•寧波）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，4），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-4，0），點(diǎn)P在射線AB上運(yùn)動(dòng)，連結(jié)CP與y軸交于點(diǎn)D，連結(jié)BD．過P，D，B三點(diǎn)作⊙Q與y軸的另一個(gè)交點(diǎn)為E，延長(zhǎng)DQ交⊙Q于點(diǎn)F，連結(jié)EF，BF．

 （1）求直線AB的函數(shù)解析式；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段AB（不包括A，B兩點(diǎn)）上時(shí)．
①求證：∠BDE=∠ADP；
②設(shè)DE=x，DF=y．請(qǐng)求出y關(guān)于x的函數(shù)解析式；
（3）請(qǐng)你探究：點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在以B，D，F(xiàn)為頂點(diǎn)的直角三角形，滿足兩條直角邊之比為2：1？如果存在，求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)：如果不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)直線AB的函數(shù)解析式為y=kx+4，把（4，0）代入即可；
（2）①先證出△BDO≌△COD，得出∠BDO=∠CDO，再根據(jù)∠CDO=∠ADP，即可得出∠BDE=∠ADP，
②先連結(jié)PE，根據(jù)∠ADP=∠DEP+∠DPE，∠BDE=∠ABD+∠OAB，∠ADP=∠BDE，∠DEP=∠ABD，得出∠DPE=∠OAB，再證出∠DFE=∠DPE=45°，最后根據(jù)∠DEF=90°，得出△DEF是等腰直角三角形，從而求出DF=

2

DE，即y=

2

x；
（3）當(dāng)

BD

BF

=2時(shí)，過點(diǎn)F作FH⊥OB于點(diǎn)H，則∠DBO=∠BFH，再證出△BOD∽△FHB，

OB

HF

=

OD

HB

=

BD

FB

=2，得出FH=2，OD=2BH，再根據(jù)∠FHO=∠EOH=∠OEF=90°，得出四邊形OEFH是矩形，OE=FH=2，EF=OH=4-

1

2

OD，根據(jù)DE=EF，求出OD的長(zhǎng)，從而得出直線CD的解析式為y=

1

3

x+

4

3

，最后根據(jù)

y= 1 3 x+ 4 3 y=-x+4

求出點(diǎn)P的坐標(biāo)即可；
當(dāng)

BD

BF

=

1

2

時(shí)，連結(jié)EB，先證出△DEF是等腰直角三角形，過點(diǎn)F作FG⊥OB于點(diǎn)G，同理可得△BOD∽△FGB，

OB

GF

=

OD

GB

=

BD

FB

=

1

2

，得出FG=8，OD=

1

2

BG，再證出四邊形OEFG是矩形，求出OD的值，再求出直線CD的解析式，最后根據(jù)

y=- 1 3 x- 4 3 y=-x+4

即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）設(shè)直線AB的函數(shù)解析式為y=kx+4，
代入（4，0）得：4k+4=0，
解得：k=-1，
則直線AB的函數(shù)解析式為y=-x+4；

（2）①由已知得：
OB=OC，∠BOD=∠COD=90°，
又∵OD=OD，
∴△BDO≌△CDO，
∴∠BDO=∠CDO，
∵∠CDO=∠ADP，
∴∠BDE=∠ADP，
②連結(jié)PE，
∵∠ADP是△DPE的一個(gè)外角，
∴∠ADP=∠DEP+∠DPE，
∵∠BDE是△ABD的一個(gè)外角，
∴∠BDE=∠ABD+∠OAB，
∵∠ADP=∠BDE，∠DEP=∠ABD，
∴∠DPE=∠OAB，
∵OA=OB=4，∠AOB=90°，
∴∠OAB=45°，
∴∠DPE=45°，
∴∠DFE=∠DPE=45°，
∵DF是⊙Q的直徑，
∴∠DEF=90°，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∴DF=

2

DE，即y=

2

x；

（3）當(dāng)BD：BF=2：1時(shí)，
過點(diǎn)F作FH⊥OB于點(diǎn)H，
∵∠DBO+∠OBF=90°，∠OBF+∠BFH=90°，
∴∠DBO=∠BFH，
又∵∠DOB=∠BHF=90°，
∴△BOD∽△FHB，
∴

OB

HF

=

OD

HB

=

BD

FB

=2，
∴FH=2，OD=2BH，
∵∠FHO=∠EOH=∠OEF=90°，
∴四邊形OEFH是矩形，
∴OE=FH=2，
∴EF=OH=4-

1

2

OD，
∵DE=EF，
∴2+OD=4-

1

2

OD，
解得：OD=

4

3

，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，

4

3

），
∴直線CD的解析式為y=

1

3

x+

4

3

，
由

y= 1 3 x+ 4 3 y=-x+4

得：

x=2 y=2

，
則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，2）；
當(dāng)

BD

BF

=

1

2

時(shí)，
連結(jié)EB，同（2）①可得：∠ADB=∠EDP，
而∠ADB=∠DEB+∠DBE，∠EDP=∠DAP+∠DPA，
∵∠DEB=∠DPA，
∴∠DBE=∠DAP=45°，
∴△DEF是等腰直角三角形，
過點(diǎn)F作FG⊥OB于點(diǎn)G，
同理可得：△BOD∽△FGB，
∴

OB

GF

=

OD

GB

=

BD

FB

=

1

2

，
∴FG=8，OD=

1

2

BG，
∵∠FGO=∠GOE=∠OEF=90°，
∴四邊形OEFG是矩形，
∴OE=FG=8，
∴EF=OG=4+2OD，
∵DE=EF，
∴8-OD=4+2OD，
OD=

4

3

，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，-

4

3

），
直線CD的解析式為：y=-

1

3

x-

4

3

，
由

y=- 1 3 x- 4 3 y=-x+4

得：

x=8 y=-4

，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（8，-4），
綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，2）或（8，-4）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了一次函數(shù)的綜合，用到的知識(shí)點(diǎn)是一次函數(shù)、矩形的性質(zhì)、圓的性質(zhì)，關(guān)鍵是綜合運(yùn)用有關(guān)知識(shí)作出輔助線，列出方程組．