Question

如圖1，已知四邊形ABCD，點(diǎn)P為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)．如果∠PAD=∠PBC，那么我們稱點(diǎn)P為四邊形ABCD關(guān)于A、B的等角點(diǎn)．如圖2，以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為6．
（1）若A、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（0，4）、D（6，4），當(dāng)四邊形ABCD關(guān)于A、B的等角點(diǎn)P在DC邊上時(shí)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為

 

；
（2）若A、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（2，4）、D（6，4），當(dāng)四邊形ABCD關(guān)于A、B的等角點(diǎn)P在DC邊上時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）若A、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（2，4）、D（10，4），點(diǎn)P（x，y）為四邊形ABCD關(guān)于A、B的等角點(diǎn)，其中x＞2，y＞0，求y與x之間的關(guān)系式．

Answer 1

分析：（1）畫出點(diǎn)A、D坐標(biāo)，根據(jù)四邊形ABCD是矩形可得點(diǎn)P在CD的中點(diǎn)處，寫出相應(yīng)坐標(biāo)即可；
（2）易得點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為6，利用△PAD∽△PBC可得點(diǎn)P的縱坐標(biāo)；
（3）可分點(diǎn)P在直線AD的上方，或下方兩種情況進(jìn)行探討：當(dāng)點(diǎn)P在直線AD的上方時(shí)，點(diǎn)P在線段BA的延長(zhǎng)線上，利用點(diǎn)A的坐標(biāo)可得相關(guān)代數(shù)式；當(dāng)點(diǎn)P在直線AD的下方時(shí)，利用（2）中的相似可得相關(guān)代數(shù)式．

解答：解：（1）
由圖中可以看出P（6，2）．
故答案為（6，2）；
（2）
依題意可得∠D=∠BCD=90°，∠PAD=∠PBC，AD=4，CD=4，BC=6．
∴△PAD∽△PBC，
∴

PD

PC

=

AD

BC

=

4

6

，
∵PD+PC=CD=4，
∴PC=

12

5

．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(6，

12

5

)；

（3）根據(jù)題意可知，不存在點(diǎn)P在直線AD上的情況；
當(dāng)點(diǎn)P不在直線AD上時(shí)，分兩種情況討論：
①當(dāng)點(diǎn)P在直線AD的上方時(shí)，點(diǎn)P在線段BA的延長(zhǎng)線上，此時(shí)有y=2x；
②當(dāng)點(diǎn)P在直線AD的下方時(shí)，過點(diǎn)P作MN⊥x軸，分別交直線AD、BC于M、N兩點(diǎn)，
與（2）同理可得△PAM∽△PBN，PM+PN=4，
由點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（x，y），可知M、N兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為M（x，4）、N（x，0）．

∴

PM

PN

=

AM

BN

．
可得

4-y

y

=

x-2

x

．
∴y=

2x

x-1

．
綜上所述，當(dāng)x＞2，y＞0時(shí)，y與x之間的關(guān)系式為y=2x或y=

2x

x-1

．

點(diǎn)評(píng)：主要考查了相似三角形的應(yīng)用；易錯(cuò)點(diǎn)在于分情況探討等角點(diǎn)的位置；難點(diǎn)在于利用相似三角形的判定與性質(zhì)得到點(diǎn)P的縱坐標(biāo)．