Question

（2012•太原一模）如圖1，已知四邊形ABCD是正方形，對角線AC、BD相交于點E，以點E為頂點作正方形EFGH，使點A、D分別在EH和EF上，連接BH、AF．
（1）判斷并說明BH和AF的數(shù)量關(guān)系；
（2）將正方形EFGH繞點E順時針方向旋轉(zhuǎn)θ（0°≤θ≤360°），設AB=a，EH=b，且a＜2b．
①如圖2，連接AG，設AG=x，請直接寫出x的取值范圍；當x取最大值時，直接寫出θ的值；
②如果四邊形ABDH是平行四邊形，請在備用圖中補全圖形，并求a與b的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)正方形的對角線互相垂直平分可得AE=BE，∠BEH=∠AEF=90°，然后利用“邊角邊”證明△BEH和△AEF全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等即可得證；
（2）①連接EG，根據(jù)正方形的性質(zhì)求出AE、EG，再根據(jù)三角形任意兩邊之和大于第三邊，三角形的任意兩邊之差小于第三邊可知A、E、G三點共線，且AE+AG=EG時，AG最小，AE+EG=AG時，AG最大，然后求解即可；
②根據(jù)平行四邊形的對邊平行且相等可得AH∥BD，AH=BD，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等求出∠EAH=90°，再根據(jù)正方形的性質(zhì)求出AE、BD，然后在Rt△AEH中，利用勾股定理列式整理即可得解．

解答：解：（1）在正方形ABCD中，AE=BE，∠BEH=∠AEF=90°，
∵四邊形EFGH是正方形，
∴EF=EH，
∵在△BEH和△AEF中，

AE=BE ∠BEH=∠AEF=90° EF=EH

，
∴△BEH≌△AEF（SAS），
∴BH=AF；

（2）①連接EG，
∵AB=a，EH=b，
∴AE=

1

2

AC=

2

2

a，EG=

2

b，
根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，AG＞EG-AE，AG＜AE+EG，
∴當AG=EG-AE時，AG最小，AG=AE+EG時，AG最大，

2

b-

2

2

a≤x≤

2

b+

2

2

a；
x取得最大值時，θ=135°；
②如圖，∵四邊形ABDH是平行四邊形，
∴AH∥BD，AH=BD，
∴∠EAH=∠AEB=90°，
在Rt△AEH中，AE²+AH²=EH²，
∴（

2

2

a）²+（

2

a）²=b²，
整理得，a=

10

5

b．

點評：本題主要考查了正方形性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行四邊形的對邊平行且相等的性質(zhì)，（2）①考慮用不變的量表示變化的量是解題的關(guān)鍵．